diff --git a/README.md b/README.md
index bb8289d692c2f5bc0f9d3f77e75667cf8715ff3d..f2114897bf36b5d55265c3c1a46d684f6830cd45 100644
--- a/README.md
+++ b/README.md
@@ -1,4 +1,4 @@
-# Calcul différentiel et EDO
+# Calcul différentiel et équations différentielles ordinaires
Cours de calcul différentiel et équations différentielles ordinaires pour la formation ModIA.
diff --git a/tp/runge-kutta.ipynb b/tp/runge-kutta.ipynb
index c44e03a4138887f1316f4111c32fe5821f21fca1..19b5220ef40b2cf25e2e2801cd48348b899c697e 100644
--- a/tp/runge-kutta.ipynb
+++ b/tp/runge-kutta.ipynb
@@ -9,12 +9,49 @@
"\n",
"# Méthodes de Runge-Kutta\n",
"\n",
- "- Date : 2023-2024\n",
+ "- Date : 2024-2025\n",
"- Durée approximative : 1h15\n",
"\n",
- "## Introduction\n",
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "Introduction\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "**Méthode à un pas explicite.** On désire calculer une approximation de la solution, notée $x(\\cdot, t_0, x_0)$, sur l'intervalle \n",
+ "$I := [t_0, t_f]$ du problème de Cauchy\n",
+ "\\begin{equation*}\n",
+ " \\dot{x}(t) = f(t, x(t)), \\quad x(t_0) = x_0,\n",
+ "\\end{equation*}\n",
+ "où $f \\colon \\mathbb{R} \\times \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}^n$ est une application suffisamment régulière. \n",
+ "On considère pour cela une subdivision de l'intervalle $I$ : \n",
+ "$$\n",
+ " t_0 < t_1 < \\cdots < t_N := t_f\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "On note $h_i := t_{i+1} - t_i$ pour $i \\in \\llbracket 0, N-1 \\rrbracket$, les **pas** de la subdivision et \n",
+ "$h_{\\max} := \\max_i(h_i)$ le pas le plus long. L'idée est de calculer une approximation de \n",
+ "la solution en les points de discrétisation. On souhaite donc approcher $x(t_i, t_0, x_0)$ pour \n",
+ "$i \\in \\llbracket 1, N \\rrbracket$. \n",
+ "\n",
+ "On appelle *méthode à un pas explicite*, toute méthode calculant un N-uplet $(x_1, \\ldots, x_N) \\in {(\\mathbb{R}^n)}^N$ tel que la valeur $x_{i+1}$ est calculée en fonction de $t_i$, $h_i$ et $x_i$ de la forme :\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ " x_{i+1} = x_i + h_i\\, \\Phi(t_i, x_i, h_i).\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "Pour approcher la solution, nous utiliserons une méthode à un pas. Si on note $x_h^* := (x_1^*, \\ldots, x_N^*)$ une solution au problème discrétisé (obtenue par la méthode à un pas considérée), alors on souhaite que \n",
+ "$$\n",
+ " x_i^* \\approx x(t_i, t_0, x_0) \\quad \\text{pour tout } i \\in \\llbracket 1, N \\rrbracket.\n",
+ "$$\n",
"\n",
- "Nous allons dans ce TP, implémenter quelques méthodes de Runge-Kutta et étudier leur convergence. On considère un pas de temps $h$ uniforme. On rappelle qu'ue méthode à un pas explicite est **convergente** si pour toute solution $x(\\cdot, t_0, x_0)$, la suite ${(x_i)}_i$ définie par $x_{i+1} = x_i + h\\, \\Phi(t_i, x_i, h)$ vérifie \n",
+ "**Ordre de convergence.** On considère à partir de maintenant un pas de temps $h$ **uniforme**. Une méthode à un pas explicite est **convergente** si pour toute solution $x(\\cdot, t_0, x_0)$, la suite ${(x_i)}_i$ définie par $x_{i+1} = x_i + h\\, \\Phi(t_i, x_i, h)$ vérifie \n",
"$$\n",
" \\max_{1 \\le i \\le N}\\, \\|{x(t_i, t_0, x_0) - x_i}\\| \\to 0 \n",
" \\quad\\text{quand}\\quad h \\to 0.\n",
@@ -32,7 +69,22 @@
" \\log(E) = \\log(M) + p\\, \\log(h).\n",
"$$\n",
"\n",
- "Nous en déduisons que si on trace $\\log(E)$ en fonction de $\\log(h)$, on doit obtenir une droite de pente $p$. C'est ce que nous allons vérifier dans ce TP."
+ "Nous en déduisons que si on trace $\\log(E)$ en fonction de $\\log(h)$, on doit obtenir une droite de pente $p$. C'est ce que nous allons vérifier dans ce TP.\n",
+ "\n",
+ "**Objectif.** Nous allons dans ce TP, implémenter quelques méthodes (à un pas) de [Runge-Kutta](https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthodes_de_Runge-Kutta) explicites et \n",
+ "étudier leur convergence. On appelle *méthode de Runge-Kutta explicite à $s$ étages*, la méthode définie par le schéma\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ " \\begin{aligned}\n",
+ " k_1 &= f(t_0, x_0) \\\\\n",
+ " k_2 &= f(t_0 + c_2 h, x_0 + h a_{21} k_1) \\\\\n",
+ " \\vdots & \\\\[-1em]\n",
+ " k_s &= f(t_0 + c_s h, x_0 + h \\sum_{j=1}^{s-1} a_{sj} k_j) \\\\\n",
+ " x_1 &= x_0 + h \\sum_{i=1}^{s} b_i k_i,\n",
+ " \\end{aligned}\n",
+ "$$\n",
+ "où les coefficients $c_i$, $a_{ij}$ et $b_i$ sont des constantes qui définissent précisément le schéma. \n",
+ "On supposera toujours dans la suite que $c_1 = 0$ et $c_i = \\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}$, pour $i = 2, \\ldots, s$."
]
},
{
@@ -96,7 +148,7 @@
" # Ecriture des choix de paramètres\n",
" println(\"Méthode d'intégration : \", method_name)\n",
"\n",
- " plts = [] # Liste des graphiques\n",
+ " plts = [] # Liste des graphiques\n",
"\n",
" for N ∈ Nspan\n",
"\n",
@@ -131,7 +183,7 @@
"function ordre(method, f, x0, tspan, sol, hspan, nfespan; \n",
" xlims=xlims_, ylims=ylims_, xlims_nfe=xlims_nfe_, ylims_nfe=ylims_nfe_)\n",
"\n",
- " plts = [] # Liste des graphiques\n",
+ " plts = [] # Liste des graphiques\n",
"\n",
" #\n",
" plt1 = plot(xaxis=:log, yaxis=:log); push!(plts, plt1)\n",
@@ -224,31 +276,53 @@
"end;\n",
"\n",
"hspan_ = 10 .^ range(-4, stop=0, length=20)\n",
- "Nfespan_ = 10 .^ range(0, stop=4, length=20);"
+ "Nfespan_ = 10 .^ range( 0, stop=4, length=20);"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
- "## La méthode d'Euler\n",
- "\n",
- "On rappelle que la méthode d'Euler est donnée par :\n",
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "L'exemple d'étude\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "On s'intéresse dans ce TP au problème de Cauchy\n",
"\n",
"$$\n",
- "\\left\\{\n",
- "\\begin{array}{l}\n",
- "x_{n+1} = x_n + h f(t_n, x_n) \\\\\n",
- "x_0 = x(t_0)\n",
- "\\end{array}\n",
- "\\right.\n",
+ " \\dot{x}(t) = (1-2t) x(t), \\quad x(0) = x_0 = 1\n",
"$$\n",
"\n",
+ "sur l'intervalle $[0, 3]$."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Définition du problème de Cauchy\n",
+ "f(t, x) = (1-2t)x # Second membre f(t, x)\n",
+ "x0 = 1.0 # Condition initiale\n",
+ "tspan = (0.0, 3.0); # Intervalle de temps"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
"### Exercice 1\n",
"\n",
- "1. Calculer la solution analytique et la coder dans la fonction `sol` ci-dessous.\n",
- "2. Implémenter la méthode d'Euler dans la fonction `euler` ci-dessous.\n",
- "3. Vérifier la convergence de la méthode d'Euler sur l'exemple donné dans la cellule d'après."
+ "* Calculer la solution analytique de l'exemple ci-dessus et la coder dans la fonction `sol` ci-dessous."
]
},
{
@@ -263,6 +337,39 @@
"end;"
]
},
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "La méthode d'Euler\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "On rappelle que la méthode d'Euler est donnée par :\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ "\\left\\{\n",
+ "\\begin{array}{l}\n",
+ "x_{n+1} = x_n + h f(t_n, x_n) \\\\\n",
+ "x_0 = x(t_0)\n",
+ "\\end{array}\n",
+ "\\right.\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "### Exercice 1\n",
+ "\n",
+ "1. Implémenter la méthode d'Euler dans la fonction `euler` ci-dessous.\n",
+ "2. Vérifier la convergence de la méthode d'Euler sur l'exemple donné dans la cellule d'après."
+ ]
+ },
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
@@ -287,18 +394,6 @@
"end;"
]
},
- {
- "cell_type": "code",
- "execution_count": null,
- "metadata": {},
- "outputs": [],
- "source": [
- "# Définition du problème de Cauchy\n",
- "f(t, x) = (1-2t)x # Second membre f(t, x)\n",
- "x0 = 1.0 # Condition initiale\n",
- "tspan = (0.0, 3.0); # Intervalle de temps"
- ]
- },
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
@@ -313,16 +408,14 @@
"plts = convergence(method, f, x0, tspan, sol, Nspan)\n",
"\n",
"# Affichage des graphiques\n",
- "plot(plts..., layout=(1, length(Nspan)), size=(900, 500))"
+ "plot(plts..., layout=(1, length(Nspan)), size=(800, 400))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
- "### Exercice 2 \n",
- "\n",
- "1. Afficher l'erreur globale de la méthode d'Euler en fonction de $h$ et vérifier que l'erreur est bien en $O(h)$."
+ "3. Afficher l'erreur globale de la méthode d'Euler en fonction de $h$ et vérifier que l'erreur est bien en $O(h)$."
]
},
{
@@ -340,14 +433,24 @@
"plt_order_euler = ordre(method, f, x0, tspan, sol, hspan, Nfespan)\n",
"\n",
"# Affichage du graphique\n",
- "plot(plt_order_euler..., layout=(1, 2), size=(900, 500))"
+ "plot(plt_order_euler..., layout=(1, 2), size=(800, 400))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
- "## La méthode de Runge \n",
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "La méthode de Runge \n",
+ "</div>\n",
"\n",
"On rappelle que la méthode de Runge est donnée par :\n",
"\n",
@@ -406,7 +509,7 @@
"plts = convergence(method, f, x0, tspan, sol, Nspan)\n",
"\n",
"# Affichage des graphiques\n",
- "plot(plts..., layout=(1, length(Nspan)), size=(900, 500))"
+ "plot(plts..., layout=(1, length(Nspan)), size=(800, 400))"
]
},
{
@@ -424,14 +527,24 @@
"plt_order_runge = ordre(plt_order_euler, method, f, x0, tspan, sol, hspan, Nfespan)\n",
"\n",
"# Affichage du graphique\n",
- "plot(plt_order_runge..., layout=(1, 2), size=(900, 500))"
+ "plot(plt_order_runge..., layout=(1, 2), size=(800, 400))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
- "## La méthode de Heun \n",
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "La méthode de Heun \n",
+ "</div>\n",
"\n",
"On rappelle que la méthode de Heun est donnée par :\n",
"\n",
@@ -494,7 +607,7 @@
"plts = convergence(method, f, x0, tspan, sol, Nspan)\n",
"\n",
"# Affichage des graphiques\n",
- "plot(plts..., layout=(1, length(Nspan)), size=(900, 500))"
+ "plot(plts..., layout=(1, length(Nspan)), size=(800, 400))"
]
},
{
@@ -512,14 +625,24 @@
"plt_order_heun = ordre(plt_order_runge, method, f, x0, tspan, sol, hspan, Nfespan)\n",
"\n",
"# Affichage du graphique\n",
- "plot(plt_order_heun..., layout=(1, 2), size=(900, 500))"
+ "plot(plt_order_heun..., layout=(1, 2), size=(800, 400))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
- "## La méthode de Runge-Kutta d'ordre 4\n",
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "La méthode de Runge-Kutta d'ordre 4\n",
+ "</div>\n",
"\n",
"On rappelle que la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 est donnée par :\n",
"\n",
@@ -584,7 +707,7 @@
"plts = convergence(method, f, x0, tspan, sol, Nspan)\n",
"\n",
"# Affichage des graphiques\n",
- "plot(plts..., layout=(1, length(Nspan)), size=(900, 500))"
+ "plot(plts..., layout=(1, length(Nspan)), size=(800, 400))"
]
},
{
@@ -602,7 +725,7 @@
"plt_order_rk4 = ordre(plt_order_heun, method, f, x0, tspan, sol, hspan, Nfespan)\n",
"\n",
"# Affichage du graphique\n",
- "plot(plt_order_rk4..., layout=(1, 2), size=(900, 500))"
+ "plot(plt_order_rk4..., layout=(1, 2), size=(800, 400))"
]
}
],