From c2d1976cd0631428cae8f5b2056f56074791b344 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Olivier Cots <olivier.cots@irit.fr>
Date: Mon, 2 Sep 2024 11:59:17 +0200
Subject: [PATCH] up readme
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tp/derivees.ipynb | 5 +-
tp/edo-general.ipynb | 5 +-
tp/install.ipynb | 10 ++
tp/rk-implicites.ipynb | 311 -----------------------------------------
tp/runge-kutta.ipynb | 5 +-
5 files changed, 16 insertions(+), 320 deletions(-)
delete mode 100644 tp/rk-implicites.ipynb
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index a7712cb..63e7c41 100644
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@@ -4,9 +4,8 @@
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- "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/LOGO_INP_N7.png\" alt=\"N7\" height=\"80\"/>\n",
- "\n",
- "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/logo-insa.png\" alt=\"INSA\" height=\"80\"/>\n",
+ "[<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/etu-n7/controle-optimal/-/raw/master/ressources/Logo-toulouse-inp-N7.png\" alt=\"N7\" height=\"80\"/>](https://gitlab.irit.fr/toc/etu-n7/controle-optimal)\n",
+ "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/logo-insa.png\" alt=\"INSA\" height=\"80\" style=\"margin-left:50px\"/>\n",
"\n",
"# Calcul de dérivées et équation différentielles\n",
"\n",
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- "\n",
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+ "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/logo-insa.png\" alt=\"INSA\" height=\"80\" style=\"margin-left:50px\"/>\n",
"\n",
"# Intégration numérique\n",
"\n",
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index 3616a42..373ba25 100644
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+ "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/logo-insa.png\" alt=\"INSA\" height=\"80\" style=\"margin-left:50px\"/>\n",
+ "\n",
+ "# Installation des packages pour les TPs"
+ ]
+ },
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- "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/LOGO_INP_N7.png\" alt=\"N7\" height=\"80\"/>\n",
- "\n",
- "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/logo-insa.png\" alt=\"INSA\" height=\"80\"/>\n",
- "\n",
- "# Méthodes de Runge-Kutta implicites - TP Projet\n",
- "\n",
- "- Date : 2023-2024\n",
- "- Durée approximative : inconnue"
- ]
- },
- {
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- "metadata": {},
- "source": [
- "**Nom** : \"Entrez votre nom ici\"\n",
- "\n",
- "**Prénom** : \"Entrez votre prénom ici\""
- ]
- },
- {
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- "metadata": {},
- "source": [
- "## Rendu et consignes\n",
- "\n",
- "Une fois le travail terminé, vous enverrez directement le fichier `.ipynb` par email à l'adresse : `olivier.cots@toulouse-inp.fr`.\n",
- "\n",
- "- **Date limite du rendu : mercredi 15/11/2023 à 23h59.** Attention, à partir de 24h, 2 points est enlevé de la note finale toutes les 30 minutes.\n",
- "- **Attention :** Le fichier doit être renommé de la façon suivante : `rk_implicites_NOM_Prenom.ipynb`. 4 points enlevés si le nom du fichier n'est pas respecté.\n",
- "- **Documents autorisés :** vous pouvez utiliser votre polycopié et les TPs précédents."
- ]
- },
- {
- "cell_type": "markdown",
- "metadata": {},
- "source": [
- "## Introduction\n",
- "\n",
- "Nous allons dans ce TP, implémenter quelques méthodes de Runge-Kutta **implicites** (voir **polycopié Section 8.2**) et étudier leur convergence. On considère un pas de temps $h$ uniforme. Une méthode à un pas implicite est convergente si pour toute solution $x(\\cdot, t_0, x_0)$ d'un problème de Cauchy, la suite approximante ${(x_i)}_i$ donnée par la méthode à un pas implicite vérifie \n",
- "$$\n",
- " \\max_{1 \\le i \\le N}\\, \\|{x(t_i, t_0, x_0) - x_i}\\| \\to 0 \n",
- " \\quad\\text{quand}\\quad h \\to 0.\n",
- "$$\n",
- "\n",
- "Si la convergence est d'ordre $p$ alors il existe une constante $C \\ge 0$ telle que l'**erreur globale** $E$ vérifie\n",
- "\n",
- "$$\n",
- " E := \\max_{1 \\le i \\le N}\\, \\|{x(t_i, t_0, x_0) - x_i}\\| \\le C\\, h^p.\n",
- "$$\n",
- "\n",
- "Faisons l'hypothèse que $E = M\\, h^p$ pour un certain $M \\ge 0$. En passant au logarithme, on obtient\n",
- "\n",
- "$$\n",
- " \\log(E) = \\log(M) + p\\, \\log(h).\n",
- "$$\n",
- "\n",
- "Nous en déduisons que si on trace $\\log(E)$ en fonction de $\\log(h)$, on doit obtenir une droite de pente $p$. C'est ce que nous allons vérifier dans ce TP."
- ]
- },
- {
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- "execution_count": null,
- "metadata": {},
- "outputs": [],
- "source": [
- "# activate local project\n",
- "using Pkg\n",
- "Pkg.activate(\".\")\n",
- "\n",
- "# load packages\n",
- "using LinearAlgebra\n",
- "using Plots\n",
- "using Plots.PlotMeasures\n",
- "using Polynomials\n",
- "\n",
- "#\n",
- "px = PlotMeasures.px;"
- ]
- },
- {
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- "execution_count": null,
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- "outputs": [],
- "source": [
- "# Fonctons auxiliaires \n",
- "\n",
- "# VOUS POUVEZ METTRE VOS FONCTIONS AUXILIAIRES ICI"
- ]
- },
- {
- "cell_type": "markdown",
- "metadata": {},
- "source": [
- "## L'exemple d'étude\n",
- "\n",
- "On s'intéresse (pour les exercices 1, 2 et 3) au problème de Cauchy\n",
- "\n",
- "$$\n",
- " \\dot{x}(t) = (1-2t) x(t), \\quad x(0) = x_0 = 1\n",
- "$$\n",
- "\n",
- "sur l'intervalle $[0, 3]$."
- ]
- },
- {
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- "outputs": [],
- "source": [
- "# Définition du problème de Cauchy\n",
- "f(t, x) = (1-2t)x # Second membre f(t, x)\n",
- "x0 = 1.0 # Condition initiale\n",
- "tspan = (0.0, 3.0); # Intervalle de temps"
- ]
- },
- {
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- "execution_count": null,
- "metadata": {},
- "outputs": [],
- "source": [
- "# Solution analytique\n",
- "function sol(t)\n",
- " return exp(t-t^2)\n",
- "end;"
- ]
- },
- {
- "cell_type": "code",
- "execution_count": null,
- "metadata": {},
- "outputs": [],
- "source": [
- "# Estimation de la constante de Lipschitz de f sur [0, 3]\n",
- "# Voir Théorème 8.2.2 pour l'utilité de cette estimation\n",
- "function dfx(t)\n",
- " return 1-2t\n",
- "end \n",
- "L = maximum(abs.(dfx.(range(0, stop=3, length=1000))))"
- ]
- },
- {
- "cell_type": "markdown",
- "metadata": {},
- "source": [
- "## La méthode d'Euler implicite\n",
- "\n",
- "La méthode d'Euler implicite est donnée par :\n",
- "\n",
- "$$\n",
- "\\left\\{\n",
- "\\begin{array}{l}\n",
- "x_{n+1} = x_n + h f(t_n, x_{n+1}) \\\\\n",
- "x_0 = x(t_0)\n",
- "\\end{array}\n",
- "\\right.\n",
- "$$\n",
- "\n",
- "### Exercice 1\n",
- "\n",
- "1. Implémenter la méthode d'Euler implicite avec le point fixe (penser à voir le polycopié Section 8.2).\n",
- "2. Pourquoi si $h \\ge 0.2$, la méthode d'Euler implicite ne marche pas ?\n",
- "3. Tracer la solution approchée et la solution exacte sur le même graphique pour différentes valeurs de $h$ que vous choisirez pour illustrer la convergence de la méthode.\n",
- "4. Tracer l'erreur globale de la méthode d'Euler implicite en fonction de $h$ et vérifier que l'erreur est bien en $O(h)$.\n",
- "\n",
- "**Attention** : pour l'algorithme du point fixe, faites attention aux critères d'arrêts (il y en a 2) ! Voir votre polycopié Section 8.2. Vous fixerez la valeur de la tolérance à $10^{-6}$ et le nombre maximum d'itérations à $1000$."
- ]
- },
- {
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- "source": [
- "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
- ]
- },
- {
- "cell_type": "markdown",
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- "source": [
- "## La méthode des trapèzes\n",
- "\n",
- "La méthode des trapèzes est donnée par le tableau de Butcher :\n",
- "\n",
- "$$\n",
- " \\begin{array}{c | c c}\n",
- " 0 & 0 & 0 \\\\[0.2em]\n",
- " 1 & 1/2 & 1/2 \\\\[0.2em]\n",
- " \\hline\n",
- " & 1/2 & 1/2 \\\\\n",
- " \\end{array}\n",
- "$$\n",
- "\n",
- "### Exercice 2\n",
- "\n",
- "1. Implémenter la méthode des trapèzes avec le point fixe.\n",
- "2. Tracer la solution approchée et la solution exacte sur le même graphique pour différentes valeurs de $h$ que vous choisirez pour illustrer la convergence de la méthode.\n",
- "3. Tracer l'erreur globale de la méthode des trapèzes. Quel est l'ordre de convergence de la méthode des trapèzes ?\n",
- "4. Tracer l'erreur globale en fonction du nombre d'évaluation de la fonction $f$."
- ]
- },
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- "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
- ]
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- {
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- "source": [
- "## La méthode de Gauss à 2 étages\n",
- "\n",
- "La méthode de Gauss à 2 étages est donnée par le tableau de Butcher :\n",
- "\n",
- "$$\n",
- " \\begin{array}{c | c c}\n",
- " 1/2 - \\sqrt{3}/6 & 1/4 & 1/4 - \\sqrt{3}/6 \\\\[0.2em]\n",
- " 1/2 + \\sqrt{3}/6 & 1/4 + \\sqrt{3}/6 & 1/4 \\\\[0.2em]\n",
- " \\hline\n",
- " & 1/2 & 1/2 \\\\\n",
- " \\end{array}\n",
- "$$\n",
- "\n",
- "### Exercice 3\n",
- "\n",
- "1. Implémenter la méthode de Gauss à 2 étages avec le point fixe.\n",
- "2. Tracer la solution approchée et la solution exacte sur le même graphique pour différentes valeurs de $h$ que vous choisirez pour illustrer la convergence de la méthode.\n",
- "3. Tracer l'erreur globale de la méthode de Gauss à 2 étages. Quel est l'ordre de convergence de la méthode de Gauss à 2 étages ?\n",
- "4. Tracer l'erreur globale en fonction du nombre d'évaluation de la fonction $f$."
- ]
- },
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- "source": [
- "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
- ]
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- {
- "cell_type": "markdown",
- "metadata": {},
- "source": [
- "## Un autre exemple\n",
- "\n",
- "On considère à partir de maintenant l'équation différentielle en dimension 2 :\n",
- "\n",
- "$$\n",
- " \\dot{x}_1(t) = x_2(t), \\quad \\dot{x}_2(t) = - x_1(t).\n",
- "$$\n",
- "\n",
- "On peut montrer facilement que la norme de $x(t) = (x_1(t), x_2(t))$ est constante le long des solutions :\n",
- "\n",
- "$$\n",
- " \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} t} \\|x(t)\\|^2 = 2\\, \\left( x(t) \\,|\\, \\dot{x}(t) \\right) = 2 \\left( x_1(t) x_2(t) - x_2(t) x_1(t) \\right) = 0.\n",
- "$$\n",
- "\n",
- "### Exercice 4\n",
- "\n",
- "On considère le problème de Cauchy associé de condition initiale $x_0 = (1, 0)$.\n",
- "\n",
- "1. Afficher l'approximation de la solution sur $[0, 10]$ pour les méthodes :\n",
- "- Euler explicite ;\n",
- "- Euler implicite ;\n",
- "- Trapèzes ;\n",
- "- Gauss à 2 étages.\n",
- "2. Commentaires.\n",
- "\n",
- "**Attention :** vous ferez un affichage dans le plan $(x_1, x_2)$. Vous fixerez le nombre de pas à $N=100$."
- ]
- },
- {
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- "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
- ]
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- "kernelspec": {
- "display_name": "Julia 1.9.0",
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- "name": "julia-1.9"
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- "language_info": {
- "file_extension": ".jl",
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- "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/LOGO_INP_N7.png\" alt=\"N7\" height=\"80\"/>\n",
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- "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/logo-insa.png\" alt=\"INSA\" height=\"80\"/>\n",
+ "[<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/etu-n7/controle-optimal/-/raw/master/ressources/Logo-toulouse-inp-N7.png\" alt=\"N7\" height=\"80\"/>](https://gitlab.irit.fr/toc/etu-n7/controle-optimal)\n",
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"\n",
"# Méthodes de Runge-Kutta\n",
"\n",
--
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