diff --git a/be/rk-implicites.ipynb b/be/rk-implicites.ipynb
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..483f16b34118e4d4d5bbc63ccc1e81211e4d5333
--- /dev/null
+++ b/be/rk-implicites.ipynb
@@ -0,0 +1,460 @@
+{
+ "cells": [
+ {
+ "cell_type": "markdown",
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+ "source": [
+ "[<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/etu-n7/controle-optimal/-/raw/master/ressources/Logo-toulouse-inp-N7.png\" alt=\"N7\" height=\"80\"/>](https://gitlab.irit.fr/toc/etu-n7/controle-optimal)\n",
+ "<img src=\"https://gitlab.irit.fr/toc/ens-n7/texCoursN7/-/raw/main/logo-insa.png\" alt=\"INSA\" height=\"80\" style=\"margin-left:50px\"/>\n",
+ "\n",
+ "# Méthodes de Runge-Kutta implicites - TP Projet\n",
+ "\n",
+ "- Date : 2024-2025\n",
+ "- Durée approximative : inconnue"
+ ]
+ },
+ {
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+ "source": [
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#FAA299;\n",
+ " border:2px solid #BF381B;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1em;\"> <!-- il faut laisser une ligne vide après celle-ci -->\n",
+ "\n",
+ "* Nom :\n",
+ "* Prénom :\n",
+ "</div>"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
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+ "source": [
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "Rendu et consignes\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "Une fois le travail terminé, vous enverrez directement le fichier `.ipynb` par email à l'adresse : `olivier.cots@toulouse-inp.fr`.\n",
+ "\n",
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#FAA299;\n",
+ " border:2px solid #BF381B;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "Date limite du rendu : vendredi 15/11/2024 à 18h00.\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "- **Attention**, à partir de 18h01, 2 points sont enlevés de la note finale toutes les 30 minutes.\n",
+ "- **Attention**, le fichier doit être renommé de la façon suivante : `rk_implicites_NOM_Prenom.ipynb`. 4 points enlevés si le nom du fichier n'est pas respecté.\n",
+ "- **Documents autorisés :** vous pouvez utiliser votre polycopié et les TPs précédents."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "Introduction\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "Nous allons dans ce TP, implémenter quelques méthodes de Runge-Kutta **implicites** (voir **polycopié Section 8.2**) et étudier leur convergence. On considère un pas de temps $h$ uniforme. Une méthode à un pas implicite est convergente si pour toute solution $x(\\cdot, t_0, x_0)$ d'un problème de Cauchy, la suite approximante ${(x_i)}_i$ donnée par la méthode à un pas implicite vérifie \n",
+ "$$\n",
+ " \\max_{1 \\le i \\le N}\\, \\|{x(t_i, t_0, x_0) - x_i}\\| \\to 0 \n",
+ " \\quad\\text{quand}\\quad h \\to 0.\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "Si la convergence est d'ordre $p$ alors il existe une constante $C \\ge 0$ telle que l'**erreur globale** $E$ vérifie\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ " E := \\max_{1 \\le i \\le N}\\, \\|{x(t_i, t_0, x_0) - x_i}\\| \\le C\\, h^p.\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "Faisons l'hypothèse que $E = M\\, h^p$ pour un certain $M \\ge 0$. En passant au logarithme, on obtient\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ " \\log(E) = \\log(M) + p\\, \\log(h).\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "Nous en déduisons que si on trace $\\log(E)$ en fonction de $\\log(h)$, on doit obtenir une droite de pente $p$. C'est ce que nous allons vérifier dans ce TP.\n",
+ "\n",
+ "### Préambule"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# activate local project\n",
+ "using Pkg\n",
+ "Pkg.activate(\".\")\n",
+ "\n",
+ "# load packages\n",
+ "using LinearAlgebra\n",
+ "using Plots\n",
+ "using Plots.PlotMeasures\n",
+ "using Polynomials\n",
+ "using DualNumbers\n",
+ "\n",
+ "#\n",
+ "px = PlotMeasures.px;"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Fonctons auxiliaires \n",
+ "\n",
+ "# VOUS POUVEZ METTRE VOS FONCTIONS AUXILIAIRES ICI"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "L'exemple d'étude\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "On s'intéresse (pour les exercices 1, 2 et 3) au problème de Cauchy\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ " \\dot{x}(t) = (1-2t) x(t), \\quad x(0) = x_0 = 1\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "sur l'intervalle $[0, 3]$.\n",
+ "\n",
+ "### Modèle et solution"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Définition du problème de Cauchy\n",
+ "f(t, x) = (1-2t)x # Second membre f(t, x)\n",
+ "x0 = 1.0 # Condition initiale\n",
+ "tspan = (0.0, 3.0); # Intervalle de temps"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Solution analytique\n",
+ "function sol(t)\n",
+ " return exp(t-t^2)\n",
+ "end;"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# Estimation de la constante de Lipschitz de f sur [0, 3]\n",
+ "# Voir Théorème 8.2.2 pour l'utilité de cette estimation\n",
+ "function dfx(t)\n",
+ " return 1-2t\n",
+ "end \n",
+ "L = maximum(abs.(dfx.(range(0, stop=3, length=1000))))"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "La méthode du point milieu implicite\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "La méthode du point milieu implicite est donnée par le tableau de Butcher :\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ " \\begin{array}{c | c }\n",
+ " 1/2 & 1/2 \\\\[0.2em]\n",
+ " \\hline\n",
+ " & 1 \\\\\n",
+ " \\end{array}\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "### Exercice 1\n",
+ "\n",
+ "1. Implémenter la méthode du point milieu implicite avec le point fixe (penser à voir le polycopié Section 8.2).\n",
+ "2. Pourquoi si $h \\ge 0.4$, l'algorithme du point fixe peut s'arrêter au bout du nombre d'itérations max et donc ne pas converger pour la méthode du point milieu implicite ?\n",
+ "3. Tracer la solution approchée et la solution exacte sur le même graphique pour différentes valeurs de $h$ que vous choisirez pour illustrer la convergence de la méthode.\n",
+ "4. Tracer l'erreur globale de la méthode du point milieu implicite en fonction de $h$. Quel est l'ordre de convergence de la méthode du point milieu implicite ?\n",
+ "\n",
+ "**Attention** : pour l'algorithme du point fixe, faites attention aux critères d'arrêts (il y en a 2) ! Voir votre polycopié Section 8.2. Vous fixerez la valeur de la tolérance à $10^{-6}$ et le nombre maximum d'itérations à $1000$."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "La méthode de Hammer & Hollingsworth\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "La méthode de Hammer & Hollingsworth est donnée par le tableau de Butcher :\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ " \\begin{array}{c | c c}\n",
+ " 0 & 0 & 0 \\\\[0.2em]\n",
+ " 2/3 & 1/3 & 1/3 \\\\[0.2em]\n",
+ " \\hline\n",
+ " & 1/4 & 3/4 \\\\\n",
+ " \\end{array}\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "### Exercice 2\n",
+ "\n",
+ "1. Implémenter la méthode de Hammer & Hollingsworth avec le point fixe.\n",
+ "2. Tracer la solution approchée et la solution exacte sur le même graphique pour différentes valeurs de $h$ que vous choisirez pour illustrer la convergence de la méthode.\n",
+ "3. Tracer l'erreur globale de la méthode de Hammer & Hollingsworth. Quel est l'ordre de convergence de la méthode de Hammer & Hollingsworth ?"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
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+ "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
+ ]
+ },
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+ "source": [
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "La méthode de Lobatto IIIA\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "La méthode de Lobatto IIIA est donnée par le tableau de Butcher :\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ " \\begin{array}{c | c c c}\n",
+ " 0 & 0 & 0 & 0 \\\\[0.2em]\n",
+ " 1/2 & 5/24 & 1/3 & -1/24 \\\\[0.2em]\n",
+ " 1 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\\[0.2em]\n",
+ " \\hline\n",
+ " & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\\\\n",
+ " \\end{array}\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "### Exercice 3\n",
+ "\n",
+ "1. Implémenter la méthode de Lobatto IIIA avec le point fixe.\n",
+ "2. Tracer la solution approchée et la solution exacte sur le même graphique pour différentes valeurs de $h$ que vous choisirez pour illustrer la convergence de la méthode.\n",
+ "3. Tracer l'erreur globale de la méthode de Lobatto IIIA. Quel est l'ordre de convergence de la méthode de Lobatto IIIA ?"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
+ ]
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+ "source": [
+ "<div style=\"width:95%;\n",
+ " margin:10px;\n",
+ " padding:8px;\n",
+ " background-color:#afa;\n",
+ " border:2px solid #bbffbb;\n",
+ " border-radius:10px;\n",
+ " font-weight:bold;\n",
+ " font-size:1.5em;\n",
+ " text-align:center;\">\n",
+ "Calcul de dérivée et équation différentielle\n",
+ "</div>\n",
+ "\n",
+ "On considère le problème de Cauchy suivant :\n",
+ "\n",
+ "$$\n",
+ " \\dot{x}(t) = 1 + x^2(t), \\quad x(0) = \\tan(x_0).\n",
+ "$$\n",
+ "\n",
+ "La solution exacte est donnée par $x(t, x_0) = \\tan(t + x_0)$. \n",
+ "\n",
+ "On considère la méthode du point milieu implicite et on note $x_{h}(x_0)$ l'approximation de la solution à l'instant finale $t_f = \\pi/4$, pour un pas de temps $h$.\n",
+ "Pour retrouver la taille de la discrétisation, on pourra écrire `N = Int(round(tf/h))`.\n",
+ "\n",
+ "### Exercice 4\n",
+ "\n",
+ "1. Ecrire une fonction Julia `dx_by_finite_diff(x0, h; η)` qui fournit la dérivée de $x_h(x_0)$ par rapport à $x_0$, par différences finies avant, où `η` est le pas de la méthode des différences finies. On pourra écrire une fonction auxiliaire pour calculer la solution approchée.\n",
+ "2. Fixons $x_0 = 0.5$. Pour $h \\in \\{ 1e^{-1}, 1e^{-2}, 1e^{-3}, 1e^{-4}, 1e^{-5} \\}$, tracer sur le même graphique (en échelle log) l'erreur de la dérivée de $x_h(x_0)$ obtenue par différences finies par rapport à la dérivée exacte en fonction de $\\eta$. Commentez."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
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+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "### Exercice 5\n",
+ "\n",
+ "1. Ecrire une fonction Julia `dx_by_dual(x0, h)` qui fournit la dérivée de $x_h(x_0)$ par rapport à $x_0$, par différentiation automatique par les nombres duaux.\n",
+ "2. Fixons $x_0 = 0.5$. Tracer sur le même graphique (en échelle log), en fonction de $h$, l'erreur de la dérivée de $x_h(x_0)$ obtenue par la différentiation automatique par rapport à la dérivée exacte et l'erreur de la solution approchée $x_h(x_0)$ par rapport à la solution exacte. Commentez."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# On fournit ceci pour la gestion des nombres duaux\n",
+ "\n",
+ "# creation of dual number ε\n",
+ "import Base.*\n",
+ "*(e::Function, x::Union{Number, Vector{<:Number}}) = e(x)\n",
+ "*(x::Union{Number, Vector{<:Number}}, e::Function) = e(x)\n",
+ "ε(x=1) = begin \n",
+ " if x isa Number\n",
+ " return Dual.(0.0, x)\n",
+ " else\n",
+ " return Dual.(zeros(length(x)), x)\n",
+ " end\n",
+ "end\n",
+ "em = ε\n",
+ "dual(x::Union{Dual, Vector{<:Dual}}) = dualpart.(x)\n",
+ "real(x::Union{Dual, Vector{<:Dual}}) = realpart.(x);\n",
+ "\n",
+ "# example of a dual number:\n",
+ "1+2ε"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "### Exercice 6\n",
+ "\n",
+ "1. Ecrire une fonction Julia `dx_by_eq_var(x0, h)` qui fournit la dérivée de $x_h(x_0)$ par rapport à $x_0$, par les équations variationnelles.\n",
+ "2. Fixons $x_0 = 0.5$. Tracer sur le même graphique (en échelle log), en fonction de $h$, l'erreur de la dérivée de $x_h(x_0)$ obtenue par les équations variationnelles par rapport à la dérivée exacte et l'erreur de la solution approchée $x_h(x_0)$ par rapport à la solution exacte. Commentez."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": null,
+ "metadata": {},
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "# AJOUTER VOTRE CODE ICI"
+ ]
+ }
+ ],
+ "metadata": {
+ "kernelspec": {
+ "display_name": "Julia 1.9.0",
+ "language": "julia",
+ "name": "julia-1.9"
+ },
+ "language_info": {
+ "file_extension": ".jl",
+ "mimetype": "application/julia",
+ "name": "julia",
+ "version": "1.9.0"
+ }
+ },
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 2
+}