" font-size:1em;\"> <!-- il faut laisser une ligne vide après celle-ci -->\n",
"\n",
"* Nom :\n",
"* Prénom :\n",
"</div>"
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"# Transfert orbital\n",
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"Ce sujet (ou TP-projet) est à rendre (voir la date sur moodle et les modalités du rendu) et sera évalué pour faire partie de la note finale de la matière Contrôle Optimal."
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"Transfert orbital à temps minimal\n",
"</div>\n",
"\n",
"\n",
"On considère le problème du transfert d'un satellite d'une orbite initiale à l'orbite géostationnaire à temps minimal. Ce problème s'écrit comme un problème de contrôle optimal sous la forme\n",
"En considérant la condition aux limites, la condition finale sur le pseudo-hamiltonien et la condition de transversalité, la fonction de tir simple est donnée par \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\begin{array}{rlll}\n",
" S \\colon & \\mathbb{R}^5 & \\longrightarrow & \\mathbb{R}^5 \\\\\n",
"On considère maintenant le problème du transfert d'un satellite d'une orbite initiale à une orbite géostationnaire à temps final fixé en cherchant à minimiser la consommation de carburant. Ce problème s'écrit comme un problème de contrôle optimal sous la forme\n",
"Toutes les constantes sont identiques au problème précédent. On considéra le problème avec $F_\\mathrm{max} = 100$ et on prendre comme temps final : $t_f = 1.5 T^{100}_{\\min}$, où $T^{100}_{\\min}$ correspond au temps minimal solution du problème précédent pour $F_\\mathrm{max} = 100$.\n",
"\n",
"**Remarques importantes.** \n",
"\n",
"* On ne considèrera que des extrémales normales, c'est-à-dire $p^0 = -1$.\n",
"* Le problème a de la structure, le contrôle optimal est composé d'arcs où la poussée est nulle $u(t) = 0$ et où la poussée est maximale $\\Vert u(t)\\Vert = \\gamma_\\mathrm{max}$.\n",
"* Vous devrez dans un premier temps résoudre le problème avec le coût suivant ce qui permet de le régulariser et ainsi d'utiliser une méthode de tir simple :\n",
"✏️ **_Question 8:_** Résoudre via du tir simple le problème régularisé pour différentes valeurs de $\\varepsilon$ suffisamment petites pour déterminer la structure optimale, en commençant avec $\\varepsilon$ suffisamment grand pour faire converger la méthode de tir plus facilement."
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"✏️ **_Question 9:_** Résoudre via du tir multiple le problème de transfert orbital à consommation minimale. Vous utilisez la structure obtenue précédemment et vous donnerez au solveur une bonne condition initiale à l'aide de la question précédente."
font-size:1em;"> <!-- il faut laisser une ligne vide après celle-ci -->
* Nom :
* Prénom :
</div>
%% Cell type:markdown id: tags:
# Transfert orbital
Ce sujet (ou TP-projet) est à rendre (voir la date sur moodle et les modalités du rendu) et sera évalué pour faire partie de la note finale de la matière Contrôle Optimal.
%% Cell type:markdown id: tags:
<div style="width:90%;
margin:10px;
padding:8px;
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border:2px solid #bbffbb;
border-radius:20px;
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font-size:1.5em;
text-align:center;">
Transfert orbital à temps minimal
</div>
On considère le problème du transfert d'un satellite d'une orbite initiale à l'orbite géostationnaire à temps minimal. Ce problème s'écrit comme un problème de contrôle optimal sous la forme
En considérant la condition aux limites, la condition finale sur le pseudo-hamiltonien et la condition de transversalité, la fonction de tir simple est donnée par
\begin{equation*}
\begin{array}{rlll}
S \colon & \mathbb{R}^5 & \longrightarrow & \mathbb{R}^5 \\
& (p_0, t_f) & \longmapsto &
S(p_0, t_f) := \begin{pmatrix}
c(x(t_f, x_0, p_0)) \\[0.5em]
\Phi(z(t_f, x_0, p_0)) \\[0.5em]
H(z(t_f, x_0, p_0), u(z(t_f, x_0, p_0))) - 1
\end{pmatrix}
\end{array}
\end{equation*}
où $z(t_f, x_0, p_0)$ est la solution au temps $t_f$ du pseudo système hamiltonien bouclé par
le contrôle maximisant, partant au temps $t_0=0$ du point $(x_0, p_0)$. On rappelle que l'on note
$z=(x, p)$.
%% Cell type:markdown id: tags:
✏️ **_Question 4:_** Compléter le code suivant de la fonction de tir.
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
#####
##### A COMPLETER
# Fonction de tir
function shoot(p0,tf)
s=zeros(eltype(p0),5)
...
returns
end;
```
%% Cell type:markdown id: tags:
✏️ **_Question 5:_** Expliquer simplement ce que fait le code suivant.
%% Cell type:markdown id: tags:
**Réponse** (double cliquer pour modifier le texte)
<div style="width:90%;
margin:10px;
padding:20px;
background-color:#CFF3F7;
border:2px solid #063970;
border-radius:20px;
font-weight:bold;
font-size:1em;"> <!-- il faut laisser une ligne vide après celle-ci -->
Ecrire la réponse ici
</div>
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
# Itéré initial
y_guess=[1.0323e-4,4.915e-5,3.568e-4,-1.554e-4,13.4]# pour F_max = 100N
On considère maintenant le problème du transfert d'un satellite d'une orbite initiale à une orbite géostationnaire à temps final fixé en cherchant à minimiser la consommation de carburant. Ce problème s'écrit comme un problème de contrôle optimal sous la forme
Toutes les constantes sont identiques au problème précédent. On considéra le problème avec $F_\mathrm{max} = 100$ et on prendre comme temps final : $t_f = 1.5 T^{100}_{\min}$, où $T^{100}_{\min}$ correspond au temps minimal solution du problème précédent pour $F_\mathrm{max} = 100$.
**Remarques importantes.**
* On ne considèrera que des extrémales normales, c'est-à-dire $p^0 = -1$.
* Le problème a de la structure, le contrôle optimal est composé d'arcs où la poussée est nulle $u(t) = 0$ et où la poussée est maximale $\Vert u(t)\Vert = \gamma_\mathrm{max}$.
* Vous devrez dans un premier temps résoudre le problème avec le coût suivant ce qui permet de le régulariser et ainsi d'utiliser une méthode de tir simple :
✏️ **_Question 8:_** Résoudre via du tir simple le problème régularisé pour différentes valeurs de $\varepsilon$ suffisamment petites pour déterminer la structure optimale, en commençant avec $\varepsilon$ suffisamment grand pour faire converger la méthode de tir plus facilement.