# Problème de navigation, une approche [MPC](https://en.wikipedia.org/wiki/Model_predictive_control)
- Date : 2025
- Durée approximative : inconnue
On considère un navire dans un courant constant $w=(w_x,w_y)$, $\|w\|\lt 1$.
[L'angle de cap](https://fr.wikipedia.org/wiki/Cap_(navigation)) est contrôlé, amenant aux équations différentielles suivantes :
$$ \begin{array}{rcl}
\dot{x}(t) &=& w_x+\cos\theta(t),\quad t \in [0,t_f]\\
\dot{y}(t) &=& w_y+\sin\theta(t),\\
\dot{\theta}(t) &=& u(t).
\end{array} $$
La vitesse angulaire est limitée et normalisée : $\|u(t)\|\leq 1$. Il y a des conditions aux limites au temps initial $t = 0$ et au temps final $t = t_f$, sur la position $(x,y)$ et sur l'angle $\theta$. L'objectif est de minimiser le temps final. Ce sujet est inspiré de ce [TP](https://github.com/pns-mam/commande/tree/main/tp3) dont le problème vient d'une collaboration entre l'Université Côte d'Azur et l'entreprise française [CGG](https://www.cgg.com) qui s'intéresse aux manoeuvres optimales de très gros navires pour la prospection marine.
✏️ **Exercice 1.** On supposera $p^0 = -1$, on se place dans le cas normal.
1. Ecrire le problème de contrôle optimal sous la forme de Mayer.
2. Donner le pseudo-hamiltonien $H(q, p, u)$, où $q = (x, y, \theta)$ et $p = (p_x, p_y, p_\theta)$.
3. Calculer l'équation adjointe, c'est-à-dire vérifiée par le vecteur adjoint $p$, donnée par le principe du maximum de Pontryagin.
4. Puisque le temps final $t_f$ est libre, nous avons une condition sur le pseudo-hamiltonien à ce temps-ci. Donner la condition vérifiée par $H(q(t_f), p(t_f), u(t_f))$.
5. Calculer le contrôle maximisant en fonction de $p_\theta$ (on pourra l'écrire comme une [fonction multivaluée](https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_multivaluée)).
6. Calculer le contrôle singulier, c'est-à-dire celui permettant de vérifier $p_\theta(t) = 0$ sur un intervalle de temps non réduit à un singleton. Utiliser le fait que le pseudo-hamiltonien est constant le long de l'extrémale pour conclure.
✏️ **Exercice 2.** Coder le problème de contrôle optimal ci-dessous.
On pourra s'insiprer du problème de la [rame de métro à temps minimal](https://control-toolbox.org/OptimalControl.jl/stable/tutorial-double-integrator-time.html) décrit dans la documentation du package OptimalControl pour définir notre problème de manoeuvre de navire ci-après.
Dans la simulation précédente, nous faisons l'hypothèse que le courant est constant. Cependant, d'un point de vue pratique le courant dépend de la position $(x, y)$. Etant donné un modèle de courant, donné par la fonction `current`, nous pouvons simuler la trajectoire réelle du navire, pourvu que l'on ait la condition initiale et le contrôle au cours du temps.
%% Cell type:code id:25422e2e tags:
``` julia
function realistic_trajectory(tf,t0,x0,y0,θ0,u,current;abstol=1e-12,reltol=1e-12,saveat=[])
En pratique, nous n'avons pas à l'avance les données réelles du courant sur l'ensemble du trajet, c'est pourquoi nous allons recalculer régulièrement le contrôle optimal. L'idée est de mettre à jour le contrôle optimal à intervalle de temps régulier en prenant en compte le courant à la position où le navire se trouve. On est donc amener à résoudre un certain nombre de problème à courant constant, avec celui-ci mis réguilièremet à jour. Ceci est une introduction aux méthodes dites MPC, pour "Model Predictive Control" en anglais.
%% Cell type:code id:563c73fd tags:
``` julia
Nmax=20# nombre d'itérations max de la méthode MPC
ε=1e-1# rayon sur la condition finale pour stopper les calculs
Δt=1.0# pas de temps fixe de la méthode MPC
P=300# nombre de points de discrétisation pour le solveur
