"Une fois le travail terminé, vous enverrez directement le fichier `.ipynb` par email à l'adresse : `olivier.cots@toulouse-inp.fr`.\n",
"\n",
"- **Date limite du rendu : mercredi 15/11/2023 à 19h.** Attention, à partir de 19h, 1 point est enlevé de la note finale toutes les 30 minutes.\n",
"- **Attention :** Le fichier doit être renommé de la façon suivante : `rk_implicites_NOM_Prenom.ipynb`\n",
"- **Date limite du rendu : mercredi 15/11/2023 à 23h59.** Attention, à partir de 24h, 2 points est enlevé de la note finale toutes les 30 minutes.\n",
"- **Attention :** Le fichier doit être renommé de la façon suivante : `rk_implicites_NOM_Prenom.ipynb`. 4 points enlevés si le nom du fichier n'est pas respecté.\n",
"- **Documents autorisés :** vous pouvez utiliser votre polycopié et les TPs précédents."
Une fois le travail terminé, vous enverrez directement le fichier `.ipynb` par email à l'adresse : `olivier.cots@toulouse-inp.fr`.
-**Date limite du rendu : mercredi 15/11/2023 à 19h.** Attention, à partir de 19h, 1 point est enlevé de la note finale toutes les 30 minutes.
-**Attention :** Le fichier doit être renommé de la façon suivante : `rk_implicites_NOM_Prenom.ipynb`
-**Date limite du rendu : mercredi 15/11/2023 à 23h59.** Attention, à partir de 24h, 2 points est enlevé de la note finale toutes les 30 minutes.
-**Attention :** Le fichier doit être renommé de la façon suivante : `rk_implicites_NOM_Prenom.ipynb`. 4 points enlevés si le nom du fichier n'est pas respecté.
-**Documents autorisés :** vous pouvez utiliser votre polycopié et les TPs précédents.
%% Cell type:markdown id: tags:
## Introduction
Nous allons dans ce TP, implémenter quelques méthodes de Runge-Kutta **implicites** (voir **polycopié Section 8.2**) et étudier leur convergence. On considère un pas de temps $h$ uniforme. Une méthode à un pas implicite est convergente si pour toute solution $x(\cdot, t_0, x_0)$ d'un problème de Cauchy, la suite approximante ${(x_i)}_i$ donnée par la méthode à un pas implicite vérifie
$$
\max_{1 \le i \le N}\,\|{x(t_i, t_0, x_0) - x_i}\|\to 0
\quad\text{quand}\quad h \to 0.
$$
Si la convergence est d'ordre $p$ alors il existe une constante $C \ge 0$ telle que l'**erreur globale** $E$ vérifie
$$
E := \max_{1 \le i \le N}\,\|{x(t_i, t_0, x_0) - x_i}\|\le C\, h^p.
$$
Faisons l'hypothèse que $E = M\, h^p$ pour un certain $M \ge 0$. En passant au logarithme, on obtient
$$
\log(E) = \log(M) + p\,\log(h).
$$
Nous en déduisons que si on trace $\log(E)$ en fonction de $\log(h)$, on doit obtenir une droite de pente $p$. C'est ce que nous allons vérifier dans ce TP.
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
# activate local project
usingPkg
Pkg.activate(".")
# load packages
usingLinearAlgebra
usingPlots
usingPlots.PlotMeasures
usingPolynomials
#
px=PlotMeasures.px;
```
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
# Fonctons auxiliaires
# VOUS POUVEZ METTRE VOS FONCTIONS AUXILIAIRES ICI
```
%% Cell type:markdown id: tags:
## L'exemple d'étude
On s'intéresse (pour les exercices 1, 2 et 3) au problème de Cauchy
$$
\dot{x}(t) = (1-2t) x(t), \quad x(0) = x_0 = 1
$$
sur l'intervalle $[0, 3]$.
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
# Définition du problème de Cauchy
f(t,x)=(1-2t)x# Second membre f(t, x)
x0=1.0# Condition initiale
tspan=(0.0,3.0);# Intervalle de temps
```
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
# Solution analytique
function sol(t)
returnexp(t-t^2)
end;
```
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
# Estimation de la constante de Lipschitz de f sur [0, 3]
# Voir Théorème 8.2.2 pour l'utilité de cette estimation
1. Implémenter la méthode d'Euler implicite avec le point fixe (penser à voir le polycopié Section 8.2).
2. Pourquoi si $h \ge 0.2$, la méthode d'Euler implicite ne marche pas ?
3. Tracer la solution approchée et la solution exacte sur le même graphique pour différentes valeurs de $h$ que vous choisirez pour illustrer la convergence de la méthode.
4. Tracer l'erreur globale de la méthode d'Euler implicite en fonction de $h$ et vérifier que l'erreur est bien en $O(h)$.
**Attention** : pour l'algorithme du point fixe, faites attention aux critères d'arrêts (il y en a 2) ! Voir votre polycopié Section 8.2. Vous fixerez la valeur de la tolérance à $10^{-6}$ et le nombre maximum d'itérations à $1000$.
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
# AJOUTER VOTRE CODE ICI
```
%% Cell type:markdown id: tags:
## La méthode des trapèzes
La méthode des trapèzes est donnée par le tableau de Butcher :
$$
\begin{array}{c | c c}
0 & 0 & 0 \\[0.2em]
1 & 1/2 & 1/2 \\[0.2em]
\hline
& 1/2 & 1/2 \\
\end{array}
$$
### Exercice 2
1. Implémenter la méthode des trapèzes avec le point fixe.
2. Tracer la solution approchée et la solution exacte sur le même graphique pour différentes valeurs de $h$ que vous choisirez pour illustrer la convergence de la méthode.
3. Tracer l'erreur globale de la méthode des trapèzes. Quel est l'ordre de convergence de la méthode des trapèzes ?
4. Tracer l'erreur globale en fonction du nombre d'évaluation de la fonction $f$.
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
# AJOUTER VOTRE CODE ICI
```
%% Cell type:markdown id: tags:
## La méthode de Gauss à 2 étages
La méthode de Gauss à 2 étages est donnée par le tableau de Butcher :
1. Implémenter la méthode de Gauss à 2 étages avec le point fixe.
2. Tracer la solution approchée et la solution exacte sur le même graphique pour différentes valeurs de $h$ que vous choisirez pour illustrer la convergence de la méthode.
3. Tracer l'erreur globale de la méthode de Gauss à 2 étages. Quel est l'ordre de convergence de la méthode de Gauss à 2 étages ?
4. Tracer l'erreur globale en fonction du nombre d'évaluation de la fonction $f$.
%% Cell type:code id: tags:
``` julia
# AJOUTER VOTRE CODE ICI
```
%% Cell type:markdown id: tags:
## Un autre exemple
On considère à partir de maintenant l'équation différentielle en dimension 2 :
