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168769af · Olivier Cots · 6de2d18b · f542fccf · 168769af · 168769af
Commit 168769af authored 3 years ago by Olivier Cots
--- a/src/Lagrangien_Augmente.jl
+++ b/src/Lagrangien_Augmente.jl
@@ -36,8 +36,8 @@ Lagrangien_Augmente(algo,fonc,contrainte,gradfonc,hessfonc,grad_contrainte,
   - 1    : nombre maximal d'itération atteint
   - (-1) : une erreur s'est produite
 - niters 	   : (Integer) nombre d'itérations réalisées
- muk : (Float) valeur de mu_k à la sortie
- lambdak : (Float) valeur de lambda_k à la sortie
+- muks : (Array{Float64}) tableau des valeurs prises par mu_k au cours de l'exécution
+- lambdaks : (Array{Float64}) tableau des vleurs prises par lambda_k au cours de l'exécution

 #### Exemple d'appel
 ```julia
@@ -85,8 +85,10 @@ function Lagrangien_Augmente(algo,fonc::Function,contrainte::Function,gradfonc::
 	flag = 0
 	iter = 0
  muk = mu0
+  muks = [mu0]
  lambdak = lambda0
+  lambdaks = [lambda0]

 	
-	return xmin,fxmin,flag,iter, muk, lambdak
+	return xmin,fxmin,flag,iter, muks, lambdaks
 end
--- a/src/algo_newton.ipynb
+++ b/src/algo_newton.ipynb
@@ -212,7 +212,7 @@
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
-    "2. Vérifier que les tests ci-dessous passent."
+    "2. Vérifier que les tests ci-dessous passent. Attention, ces tests vérifient seulement la solution xmin trouvée par votre algorihtme. Les valeurs des flags ou le nombre d'itérations ne sont pas toujours testés et les tests ne sont bien-sûr pas exhaustifs. Vous êtes libres de rajouter des tests pour compléter ceux qui sont donnés."
   ]
  },
  {

 %% Cell type:markdown id: tags:

 <center>
 <h1> TP-Projet d'optimisation numérique </h1>
 <h1> Algorithme de Newton </h1>
 </center>

 %% Cell type:markdown id: tags:

 ## Implémentation

 1. Coder l’algorithme de Newton local en respectant la spécification ci-dessous (fichier `Algorithme_De_Newton.jl`)

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 using LinearAlgebra
 using Documenter
 using Markdown
 include("Algorithme_De_Newton.jl")
 @doc Algorithme_De_Newton
 ```

 %% Output

    #### Objet
    
    Cette fonction implémente l'algorithme de Newton pour résoudre un problème d'optimisation sans contrainte
    
    #### Syntaxe
    
    ```julia
    xk,f_min,flag,nb_iters = Algorithme_de_Newton(f,gradf,hessf,x0,option)
    ```
    
    #### Entrées :
    
      * f       : (Function) la fonction à minimiser
      * gradf   : (Function) le gradient de la fonction f
      * hessf   : (Function) la Hessienne de la fonction f
      * x0      : (Array{Float,1}) première approximation de la solution cherchée
      * options : (Array{Float,1})
    
          * max_iter      : le nombre maximal d'iterations
          * Tol_abs       : la tolérence absolue
          * Tol_rel       : la tolérence relative
    
    #### Sorties:
    
      * xmin    : (Array{Float,1}) une approximation de la solution du problème  : $\min_{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)$
      * f*min   : (Float) ``f(x*{min})``
      * flag     : (Integer) indique le critère sur lequel le programme à arrêter
    
          * 0    : Convergence
          * 1    : stagnation du xk
          * 2    : stagnation du f
          * 3    : nombre maximal d'itération dépassé
      * nb_iters : (Integer) le nombre d'itérations faites par le programme
    
    #### Exemple d'appel
    
    ```@example
    f(x)=100*(x[2]-x[1]^2)^2+(1-x[1])^2
    gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)]
    hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200]
    x0 = [1; 0]
    options = []
    xmin,f_min,flag,nb_iters = Algorithme_De_Newton(f,gradf,hessf,x0,options)
    ```
    \paragraph{Objet}
    Cette fonction implémente l'algorithme de Newton pour résoudre un problème d'optimisation sans contrainte
    
    \paragraph{Syntaxe}
    \begin{verbatim}
    xk,f_min,flag,nb_iters = Algorithme_de_Newton(f,gradf,hessf,x0,option)
    \end{verbatim}
    \paragraph{Entrées :}
    \begin{itemize}
    \item f       : (Function) la fonction à minimiser
    
    
    \item gradf   : (Function) le gradient de la fonction f
    
    
    \item hessf   : (Function) la Hessienne de la fonction f
    
    
    \item x0      : (Array\{Float,1\}) première approximation de la solution cherchée
    
    
    \item options : (Array\{Float,1\})
    
    \begin{itemize}
    \item max\_iter      : le nombre maximal d'iterations
    
    
    \item Tol\_abs       : la tolérence absolue
    
    
    \item Tol\_rel       : la tolérence relative
    
    \end{itemize}
    \end{itemize}
    \paragraph{Sorties:}
    \begin{itemize}
    \item xmin    : (Array\{Float,1\}) une approximation de la solution du problème  : $\min_{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)$
    
    
    \item f\emph{min   : (Float) ``f(x}\{min\})``
    
    
    \item flag     : (Integer) indique le critère sur lequel le programme à arrêter
    
    \begin{itemize}
    \item 0    : Convergence
    
    
    \item 1    : stagnation du xk
    
    
    \item 2    : stagnation du f
    
    
    \item 3    : nombre maximal d'itération dépassé
    
    \end{itemize}
    
    \item nb\_iters : (Integer) le nombre d'itérations faites par le programme
    
    \end{itemize}
    \paragraph{Exemple d'appel}
    \begin{verbatim}
    f(x)=100*(x[2]-x[1]^2)^2+(1-x[1])^2
    gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)]
    hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200]
    x0 = [1; 0]
    options = []
    xmin,f_min,flag,nb_iters = Algorithme_De_Newton(f,gradf,hessf,x0,options)
    \end{verbatim}
    [1m  Objet[22m
    [1m  -------[22m
    
      Cette fonction implémente l'algorithme de Newton pour résoudre un problème
      d'optimisation sans contrainte
    
    [1m  Syntaxe[22m
    [1m  ---------[22m
    
    [36m  xk,f_min,flag,nb_iters = Algorithme_de_Newton(f,gradf,hessf,x0,option)[39m
    
    [1m  Entrées :[22m
    [1m  -----------[22m
    
        •  f : (Function) la fonction à minimiser
    
        •  gradf : (Function) le gradient de la fonction f
    
        •  hessf : (Function) la Hessienne de la fonction f
    
        •  x0 : (Array{Float,1}) première approximation de la solution cherchée
    
        •  options : (Array{Float,1}) • max_iter : le nombre maximal d'iterations
           • Tol_abs : la tolérence absolue • Tol_rel : la tolérence relative
    
    [1m  Sorties:[22m
    [1m  ----------[22m
    
        •  xmin : (Array{Float,1}) une approximation de la solution du problème :
           [35m\min_{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)[39m
    
        •  f[4mmin : (Float) ``f(x[24m{min})``
    
        •  flag : (Integer) indique le critère sur lequel le programme à arrêter
           • 0 : Convergence • 1 : stagnation du xk • 2 : stagnation du f • 3 :
           nombre maximal d'itération dépassé
    
        •  nb_iters : (Integer) le nombre d'itérations faites par le programme
    
    [1m  Exemple d'appel[22m
    [1m  -----------------[22m
    
    [36m  f(x)=100*(x[2]-x[1]^2)^2+(1-x[1])^2[39m
    [36m  gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)][39m
    [36m  hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200][39m
    [36m  x0 = [1; 0][39m
    [36m  options = [][39m
    [36m  xmin,f_min,flag,nb_iters = Algorithme_De_Newton(f,gradf,hessf,x0,options)[39m

 %% Cell type:markdown id: tags:

-2. Vérifier que les tests ci-dessous passent.
+2. Vérifier que les tests ci-dessous passent. Attention, ces tests vérifient seulement la solution xmin trouvée par votre algorihtme. Les valeurs des flags ou le nombre d'itérations ne sont pas toujours testés et les tests ne sont bien-sûr pas exhaustifs. Vous êtes libres de rajouter des tests pour compléter ceux qui sont donnés.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 using Test

 # Tolérance pour les tests d'égalité
 tol_erreur = sqrt(eps())

 ## ajouter les fonctions de test
 include("../test/fonctions_de_tests.jl")

 include("../test/tester_algo_newton.jl")

 include("../src/Algorithme_De_Newton.jl")

 affiche = false

 @testset "Test algo newton" begin
 	# Tester l'algorithme de Newton
 	tester_algo_newton(affiche,Algorithme_De_Newton)
 end;
 ```

 %% Output

    [37msolution: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:37[22m
      Expression: isapprox(x_min, sol_exacte_fct1, atol = tol_erreur)
       Evaluated: isapprox([1, 0, 0], [1, 1, 1]; atol = 1.4901161193847656e-8)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:37[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:37[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:32[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37mitération: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:40[22m
      Expression: nb_iters == 1
       Evaluated: 0 == 1
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:40[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:40[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:32[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37msolution: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:49[22m
      Expression: ≈(x_min, sol_exacte_fct1, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [10.0, 3.0, -2.2] ≈ [1, 1, 1] (atol=1.4901161193847656e-8)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:49[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:49[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:44[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37mitération: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:52[22m
      Expression: nb_iters == 1
       Evaluated: 0 == 1
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:52[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:52[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:44[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37msolution: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:73[22m
      Expression: ≈(x_min, sol_exacte_fct2, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [-1.2, 1.0] ≈ [1, 1] (atol=1.4901161193847656e-8)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:73[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:73[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:68[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37mitération: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:76[22m
      Expression: nb_iters == 6
       Evaluated: 0 == 6
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:76[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:76[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:68[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37msolution: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:85[22m
      Expression: ≈(x_min, sol_exacte_fct2, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [10, 0] ≈ [1, 1] (atol=1.4901161193847656e-8)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:85[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:85[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:80[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37mitération: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:88[22m
      Expression: nb_iters == 5
       Evaluated: 0 == 5
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:88[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:88[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:80[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37msolution: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:100[22m
      Expression: ≈(x_min, sol, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [0.0, 0.0050000000010000005] ≈ [-4.99999958629818e9, 8.673617379884035e-19] (atol=1.4901161193847656e-8)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:100[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:100[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:93[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37mexception: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_algo_newton.jl:104[22m
      Expression: (x_min, fx_min, flag, nb_iters) = Algorithme_De_Newton(fct2, grad_fct2, hess_fct2, pts1.x023, options)
        Expected: SingularException
      No exception thrown
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:104[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:103[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:93[0m[90m [inlined][39m
     [6] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [7] [0m[1mtester_algo_newton[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mAlgorithme_De_Newton[39m::[0mtypeof(Algorithme_De_Newton)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_algo_newton.jl:17[0m
    [37m[1mTest Summary:                | [22m[39m[32m[1mPass  [22m[39m[91m[1mFail  [22m[39m[36m[1mTotal[22m[39m
    Test algo newton             | [32m   4  [39m[91m  10  [39m[36m   14[39m
      L'algo de Newton           | [32m   4  [39m[91m  10  [39m[36m   14[39m
        Cas test 1 x0 = solution | [32m   2  [39m      [36m    2[39m
        Cas test 1 x0 = x011     |       [91m   2  [39m[36m    2[39m
          solution               |       [91m   1  [39m[36m    1[39m
          itération              |       [91m   1  [39m[36m    1[39m
        Cas test 1 x0 = x012     |       [91m   2  [39m[36m    2[39m
          solution               |       [91m   1  [39m[36m    1[39m
          itération              |       [91m   1  [39m[36m    1[39m
        Cas test 2 x0 = solution | [32m   2  [39m      [36m    2[39m
        Cas test 2 x0 = x021     |       [91m   2  [39m[36m    2[39m
          solution               |       [91m   1  [39m[36m    1[39m
          itération              |       [91m   1  [39m[36m    1[39m
        Cas test 2 x0 = x022     |       [91m   2  [39m[36m    2[39m
          solution               |       [91m   1  [39m[36m    1[39m
          itération              |       [91m   1  [39m[36m    1[39m
        Cas test 2 x0 = x023     |       [91m   2  [39m[36m    2[39m
          solution               |       [91m   1  [39m[36m    1[39m
          exception              |       [91m   1  [39m[36m    1[39m

    Some tests did not pass: 4 passed, 10 failed, 0 errored, 0 broken.
 Stacktrace:
 [1] finish(ts::Test.DefaultTestSet)
   @ Test /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:913
 [2] macro expansion
   @ /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:1161 [inlined]
 [3] top-level scope
   @ In[9]:17
 [4] eval
   @ ./boot.jl:360 [inlined]
 [5] include_string(mapexpr::typeof(REPL.softscope), mod::Module, code::String, filename::String)
   @ Base ./loading.jl:1094

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 #using Pkg; Pkg.add("LinearAlgebra"); Pkg.add("Markdown")
 # using Documenter
 using LinearAlgebra
 using Markdown                             # Pour que les docstrings en début des fonctions ne posent
                                           # pas de soucis. Ces docstrings sont utiles pour générer
                                           # la documentation sous GitHub
 include("Algorithme_De_Newton.jl")

 # Affichage les sorties de l'algorithme des Régions de confiance
 function my_afficher_resultats(algo,nom_fct,point_init,xmin,fxmin,flag,sol_exacte,nbiters)
 	println("-------------------------------------------------------------------------")
 	printstyled("Résultats de : ",algo, " appliqué à ",nom_fct, " au point initial ", point_init, ":\n",bold=true,color=:blue)
 	println("  * xsol = ",xmin)
 	println("  * f(xsol) = ",fxmin)
 	println("  * nb_iters = ",nbiters)
 	println("  * flag = ",flag)
 	println("  * sol_exacte : ", sol_exacte)
 end

 # Fonction f0
 # -----------
 f0(x) =  sin(x)
 # la gradient de la fonction f0
 grad_f0(x) = cos(x)
 # la hessienne de la fonction f0
 hess_f0(x) = -sin(x)
 sol_exacte = -pi/2
 options = []

 x0 = sol_exacte
 xmin,f_min,flag,nb_iters = Algorithme_De_Newton(f0,grad_f0,hess_f0,x0,options)
 my_afficher_resultats("Newton","f0",x0,xmin,f_min,flag,sol_exacte,nb_iters)
 x0 = -pi/2+0.5
 xmin,f_min,flag,nb_iters = Algorithme_De_Newton(f0,grad_f0,hess_f0,x0,options)
 my_afficher_resultats("Newton","f0",x0,xmin,f_min,flag,sol_exacte,nb_iters)
 x0 = pi/2
 xmin,f_min,flag,nb_iters = Algorithme_De_Newton(f0,grad_f0,hess_f0,x0,options)
 my_afficher_resultats("Newton","f0",x0,xmin,f_min,flag,sol_exacte,nb_iters)
 ```

 %% Output

    -------------------------------------------------------------------------
    [34m[1mRésultats de : Newton appliqué à f0 au point initial -1.5707963267948966:[22m[39m
      * xsol = -1.5707963267948966
      * f(xsol) = -1.0
      * nb_iters = 0
      * flag = 0
      * sol_exacte : -1.5707963267948966
    -------------------------------------------------------------------------
    [34m[1mRésultats de : Newton appliqué à f0 au point initial -1.0707963267948966:[22m[39m
      * xsol = -1.0707963267948966
      * f(xsol) = -0.8775825618903726
      * nb_iters = 0
      * flag = 0
      * sol_exacte : -1.5707963267948966
    -------------------------------------------------------------------------
    [34m[1mRésultats de : Newton appliqué à f0 au point initial 1.5707963267948966:[22m[39m
      * xsol = 1.5707963267948966
      * f(xsol) = 1.0
      * nb_iters = 0
      * flag = 0
      * sol_exacte : -1.5707963267948966

 %% Cell type:markdown id: tags:

 ## Interprétation

 1. Justifier les résultats obtenus pour l'exemple $f_0$ ci-dessus;

 2. Soit
 $$ f_{1} : \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}$$ $$ (x_1,x_2, x_3) \mapsto  2 (x_1 +x_2 + x_3 -3)^2 + (x_1-x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2$$

 Justifier que l’algorithme implémenté converge en une itération pour $f_{1}$;

 3. Soit
 $$ f_{2} : \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}$$ $$ (x_1,x_2) \mapsto 100(x_2-x_1^2)^2 + (1-x_1)^2 $$

 Justifier que l’algorithme puisse ne pas converger pour $f_{2}$ avec certains points initiaux.


 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 ```

--- a/src/lagrangien_augmente.ipynb
+++ b/src/lagrangien_augmente.ipynb
@@ -308,7 +308,7 @@
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
-    "3. Vérifier que les tests ci-dessous passent."
+    "3. Vérifier que les tests ci-dessous passent. Attention, ces tests vérifient seulement la solution xmin trouvée par votre algorihtme. Les valeurs des flags ou le nombre d'itérations ne sont pas toujours testés et les tests ne sont bien-sûr pas exhaustifs. Vous êtes libres de rajouter des tests pour compléter ceux qui sont donnés."
   ]
  },
  {

 %% Cell type:markdown id: tags:

 <center>
 <h1> TP-Projet d'optimisation numérique </h1>
 <h1> Algorithme du Lagrangien Augmenté </h1>
 </center>

 %% Cell type:markdown id: tags:

 ## Implémentation

 1. Implémenter l'algorithme du lagrangien augmenté, en utilisant les différentes méthodes
 qui ont été vues en première partie pour la résolution de la suite de problémes sans
 contraintes (fichier `Lagrangien_Augmente.jl`). La spécification de l'algorithme du Lagrangien augmenté est donnée ci-dessous.


 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 using LinearAlgebra
 using Documenter
 using Markdown
 include("Lagrangien_Augmente.jl")
 @doc Lagrangien_Augmente
 ```

 %% Output

    #### Objet
    
    Résolution des problèmes de minimisation sous contraintes d'égalités par l'algorithme du lagrangien augmenté
    
    #### Syntaxe
    
    ```julia
    Lagrangien_Augmente(algo,fonc,contrainte,gradfonc,hessfonc,grad_contrainte,
    			hess_contrainte,x0,options)
    ```
    
    #### Entrées
    
      * algo 		   : (String) l'algorithme sans contraintes à utiliser:
    
          * "newton"  : pour l'algorithme de Newton
          * "cauchy"  : pour le pas de Cauchy
          * "gct"     : pour le gradient conjugué tronqué
      * fonc 		   : (Function) la fonction à minimiser
      * contrainte	   : (Function) la contrainte [x est dans le domaine des contraintes ssi $c(x)=0$]
      * gradfonc       : (Function) le gradient de la fonction
      * hessfonc 	   : (Function) la hessienne de la fonction
      * grad_contrainte : (Function) le gradient de la contrainte
      * hess_contrainte : (Function) la hessienne de la contrainte
      * x0 			   : (Array{Float,1}) la première composante du point de départ du Lagrangien
      * options		   : (Array{Float,1})
    
        1. epsilon 	   : utilisé dans les critères d'arrêt
        2. tol         : la tolérance utilisée dans les critères d'arrêt
        3. itermax 	   : nombre maximal d'itération dans la boucle principale
        4. lambda0	   : la deuxième composante du point de départ du Lagrangien
        5. mu0,tho 	   : valeurs initiales des variables de l'algorithme
    
    #### Sorties
    
      * xmin		   : (Array{Float,1}) une approximation de la solution du problème avec contraintes
      * fxmin 	   : (Float) $f(x_{min})$
      * flag		   : (Integer) indicateur du déroulement de l'algorithme
    
          * 0    : convergence
          * 1    : nombre maximal d'itération atteint
          * (-1) : une erreur s'est produite
      * niters 	   : (Integer) nombre d'itérations réalisées
      * muk : (Float) valeur de mu_k à la sortie
      * lambdak : (Float) valeur de lambda_k à la sortie
    
    #### Exemple d'appel
    
    ```julia
    using LinearAlgebra
    f(x)=100*(x[2]-x[1]^2)^2+(1-x[1])^2
    gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)]
    hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200]
    algo = "gct" # ou newton|gct
    x0 = [1; 0]
    options = []
    contrainte(x) =  (x[1]^2) + (x[2]^2) -1.5
    grad_contrainte(x) = [2*x[1] ;2*x[2]]
    hess_contrainte(x) = [2 0;0 2]
    output = Lagrangien_Augmente(algo,f,contrainte,gradf,hessf,grad_contrainte,hess_contrainte,x0,options)
    ```
    
    #### Tolérances des algorithmes appelés
    
    Pour les tolérances définies dans les algorithmes appelés (Newton et régions de confiance), prendre les tolérances  par défaut définies dans ces algorithmes.
    \paragraph{Objet}
    Résolution des problèmes de minimisation sous contraintes d'égalités par l'algorithme du lagrangien augmenté
    
    \paragraph{Syntaxe}
    \begin{verbatim}
    Lagrangien_Augmente(algo,fonc,contrainte,gradfonc,hessfonc,grad_contrainte,
    			hess_contrainte,x0,options)
    \end{verbatim}
    \paragraph{Entrées}
    \begin{itemize}
    \item algo 		   : (String) l'algorithme sans contraintes à utiliser:
    
    \begin{itemize}
    \item "newton"  : pour l'algorithme de Newton
    
    
    \item "cauchy"  : pour le pas de Cauchy
    
    
    \item "gct"     : pour le gradient conjugué tronqué
    
    \end{itemize}
    
    \item fonc 		   : (Function) la fonction à minimiser
    
    
    \item contrainte	   : (Function) la contrainte [x est dans le domaine des contraintes ssi $c(x)=0$]
    
    
    \item gradfonc       : (Function) le gradient de la fonction
    
    
    \item hessfonc 	   : (Function) la hessienne de la fonction
    
    
    \item grad\_contrainte : (Function) le gradient de la contrainte
    
    
    \item hess\_contrainte : (Function) la hessienne de la contrainte
    
    
    \item x0 			   : (Array\{Float,1\}) la première composante du point de départ du Lagrangien
    
    
    \item options		   : (Array\{Float,1\})
    
    \begin{itemize}
    \item[1. ] epsilon 	   : utilisé dans les critères d'arrêt
    
    
    \item[2. ] tol         : la tolérance utilisée dans les critères d'arrêt
    
    
    \item[3. ] itermax 	   : nombre maximal d'itération dans la boucle principale
    
    
    \item[4. ] lambda0	   : la deuxième composante du point de départ du Lagrangien
    
    
    \item[5. ] mu0,tho 	   : valeurs initiales des variables de l'algorithme
    
    \end{itemize}
    \end{itemize}
    \paragraph{Sorties}
    \begin{itemize}
    \item xmin		   : (Array\{Float,1\}) une approximation de la solution du problème avec contraintes
    
    
    \item fxmin 	   : (Float) $f(x_{min})$
    
    
    \item flag		   : (Integer) indicateur du déroulement de l'algorithme
    
    \begin{itemize}
    \item 0    : convergence
    
    
    \item 1    : nombre maximal d'itération atteint
    
    
    \item (-1) : une erreur s'est produite
    
    \end{itemize}
    
    \item niters 	   : (Integer) nombre d'itérations réalisées
    
    
    \item muk : (Float) valeur de mu\_k à la sortie
    
    
    \item lambdak : (Float) valeur de lambda\_k à la sortie
    
    \end{itemize}
    \paragraph{Exemple d'appel}
    \begin{verbatim}
    using LinearAlgebra
    f(x)=100*(x[2]-x[1]^2)^2+(1-x[1])^2
    gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)]
    hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200]
    algo = "gct" # ou newton|gct
    x0 = [1; 0]
    options = []
    contrainte(x) =  (x[1]^2) + (x[2]^2) -1.5
    grad_contrainte(x) = [2*x[1] ;2*x[2]]
    hess_contrainte(x) = [2 0;0 2]
    output = Lagrangien_Augmente(algo,f,contrainte,gradf,hessf,grad_contrainte,hess_contrainte,x0,options)
    \end{verbatim}
    \paragraph{Tolérances des algorithmes appelés}
    Pour les tolérances définies dans les algorithmes appelés (Newton et régions de confiance), prendre les tolérances  par défaut définies dans ces algorithmes.
    
    [1m  Objet[22m
    [1m  -------[22m
    
      Résolution des problèmes de minimisation sous contraintes d'égalités par
      l'algorithme du lagrangien augmenté
    
    [1m  Syntaxe[22m
    [1m  ---------[22m
    
    [36m  Lagrangien_Augmente(algo,fonc,contrainte,gradfonc,hessfonc,grad_contrainte,[39m
    [36m  			hess_contrainte,x0,options)[39m
    
    [1m  Entrées[22m
    [1m  ---------[22m
    
        •  algo : (String) l'algorithme sans contraintes à utiliser: • "newton" :
           pour l'algorithme de Newton • "cauchy" : pour le pas de Cauchy • "gct"
           : pour le gradient conjugué tronqué
    
        •  fonc : (Function) la fonction à minimiser
    
        •  contrainte : (Function) la contrainte [x est dans le domaine des
           contraintes ssi [35mc(x)=0[39m]
    
        •  gradfonc : (Function) le gradient de la fonction
    
        •  hessfonc : (Function) la hessienne de la fonction
    
        •  grad_contrainte : (Function) le gradient de la contrainte
    
        •  hess_contrainte : (Function) la hessienne de la contrainte
    
        •  x0 : (Array{Float,1}) la première composante du point de départ du
           Lagrangien
    
        •  options : (Array{Float,1}) 1. epsilon : utilisé dans les critères
           d'arrêt 2. tol : la tolérance utilisée dans les critères d'arrêt 3.
           itermax : nombre maximal d'itération dans la boucle principale 4.
           lambda0 : la deuxième composante du point de départ du Lagrangien 5.
           mu0,tho : valeurs initiales des variables de l'algorithme
    
    [1m  Sorties[22m
    [1m  ---------[22m
    
        •  xmin : (Array{Float,1}) une approximation de la solution du problème
           avec contraintes
    
        •  fxmin : (Float) [35mf(x_{min})[39m
    
        •  flag : (Integer) indicateur du déroulement de l'algorithme • 0 :
           convergence • 1 : nombre maximal d'itération atteint • (-1) : une
           erreur s'est produite
    
        •  niters : (Integer) nombre d'itérations réalisées
    
        •  muk : (Float) valeur de mu_k à la sortie
    
        •  lambdak : (Float) valeur de lambda_k à la sortie
    
    [1m  Exemple d'appel[22m
    [1m  -----------------[22m
    
    [36m  using LinearAlgebra[39m
    [36m  f(x)=100*(x[2]-x[1]^2)^2+(1-x[1])^2[39m
    [36m  gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)][39m
    [36m  hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200][39m
    [36m  algo = "gct" # ou newton|gct[39m
    [36m  x0 = [1; 0][39m
    [36m  options = [][39m
    [36m  contrainte(x) =  (x[1]^2) + (x[2]^2) -1.5[39m
    [36m  grad_contrainte(x) = [2*x[1] ;2*x[2]][39m
    [36m  hess_contrainte(x) = [2 0;0 2][39m
    [36m  output = Lagrangien_Augmente(algo,f,contrainte,gradf,hessf,grad_contrainte,hess_contrainte,x0,options)[39m
    
    [1m  Tolérances des algorithmes appelés[22m
    [1m  ------------------------------------[22m
    
      Pour les tolérances définies dans les algorithmes appelés (Newton et régions
      de confiance), prendre les tolérances par défaut définies dans ces
      algorithmes.

 %% Cell type:markdown id: tags:

-3. Vérifier que les tests ci-dessous passent.
+3. Vérifier que les tests ci-dessous passent. Attention, ces tests vérifient seulement la solution xmin trouvée par votre algorihtme. Les valeurs des flags ou le nombre d'itérations ne sont pas toujours testés et les tests ne sont bien-sûr pas exhaustifs. Vous êtes libres de rajouter des tests pour compléter ceux qui sont donnés.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 using Test

 # Tolérance pour les tests d'égalité
 tol_erreur = sqrt(eps())

 ## ajouter les fonctions de test
 include("../test/fonctions_de_tests.jl")

 include("../test/tester_lagrangien_augmente.jl")

 include("../src/Algorithme_De_Newton.jl")

 include("../src/Pas_De_Cauchy.jl")

 include("../src/Gradient_Conjugue_Tronque.jl")

 include("../src/Regions_De_Confiance.jl")

 include("../src/Lagrangien_Augmente.jl")

 affiche = false

 @testset "Test lagrangien augmente" begin
 	tester_lagrangien_augmente(affiche,Lagrangien_Augmente)
 end;
 ```

 %% Output

    [37mAvec newton: [39m[91m[1mError During Test[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_lagrangien_augmente.jl:35[22m
      Got exception outside of a @test
      BoundsError: attempt to access 6-element Vector{Float64} at index [7]
      Stacktrace:
        [1] [0m[1mgetindex[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4marray.jl:801[0m[90m [inlined][39m
        [2] [0m[1mLagrangien_Augmente[22m[0m[1m([22m[90malgo[39m::[0mString, [90mfonc[39m::[0mFunction, [90mcontrainte[39m::[0mFunction, [90mgradfonc[39m::[0mFunction, [90mhessfonc[39m::[0mFunction, [90mgrad_contrainte[39m::[0mFunction, [90mhess_contrainte[39m::[0mFunction, [90mx0[39m::[0mVector[90m{Int64}[39m, [90moptions[39m::[0mVector[90m{Float64}[39m[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/src/[39m[90;4mLagrangien_Augmente.jl:79[0m
        [3] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_lagrangien_augmente.jl:37[0m[90m [inlined][39m
        [4] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1226[0m[90m [inlined][39m
        [5] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_lagrangien_augmente.jl:35[0m[90m [inlined][39m
        [6] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
        [7] [0m[1mtester_lagrangien_augmente[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mLagrangien_Augmente[39m::[0mtypeof(Lagrangien_Augmente)[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_lagrangien_augmente.jl:35[0m
        [8] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90;4mIn[2]:24[0m[90m [inlined][39m
        [9] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
       [10] top-level scope
      [90m    @ [39m[90;4mIn[2]:24[0m
       [11] [0m[1meval[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4mboot.jl:360[0m[90m [inlined][39m
       [12] [0m[1minclude_string[22m[0m[1m([22m[90mmapexpr[39m::[0mtypeof(REPL.softscope), [90mmod[39m::[0mModule, [90mcode[39m::[0mString, [90mfilename[39m::[0mString[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[90mBase[39m [90m./[39m[90;4mloading.jl:1094[0m
       [13] [0m[1msoftscope_include_string[22m[0m[1m([22m[90mm[39m::[0mModule, [90mcode[39m::[0mString, [90mfilename[39m::[0mString[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[36mSoftGlobalScope[39m [90m~/.julia/packages/SoftGlobalScope/u4UzH/src/[39m[90;4mSoftGlobalScope.jl:65[0m
       [14] [0m[1mexecute_request[22m[0m[1m([22m[90msocket[39m::[0mZMQ.Socket, [90mmsg[39m::[0mIJulia.Msg[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[32mIJulia[39m [90m~/.julia/packages/IJulia/e8kqU/src/[39m[90;4mexecute_request.jl:67[0m
       [15] [0m[1m#invokelatest#2[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4messentials.jl:708[0m[90m [inlined][39m
       [16] [0m[1minvokelatest[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4messentials.jl:706[0m[90m [inlined][39m
       [17] [0m[1meventloop[22m[0m[1m([22m[90msocket[39m::[0mZMQ.Socket[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[32mIJulia[39m [90m~/.julia/packages/IJulia/e8kqU/src/[39m[90;4meventloop.jl:8[0m
       [18] [0m[1m(::IJulia.var"#15#18")[22m[0m[1m([22m[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[32mIJulia[39m [90m./[39m[90;4mtask.jl:406[0m
    [37mAvec gct: [39m[91m[1mError During Test[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_lagrangien_augmente.jl:35[22m
      Got exception outside of a @test
      BoundsError: attempt to access 6-element Vector{Float64} at index [7]
      Stacktrace:
        [1] [0m[1mgetindex[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4marray.jl:801[0m[90m [inlined][39m
        [2] [0m[1mLagrangien_Augmente[22m[0m[1m([22m[90malgo[39m::[0mString, [90mfonc[39m::[0mFunction, [90mcontrainte[39m::[0mFunction, [90mgradfonc[39m::[0mFunction, [90mhessfonc[39m::[0mFunction, [90mgrad_contrainte[39m::[0mFunction, [90mhess_contrainte[39m::[0mFunction, [90mx0[39m::[0mVector[90m{Int64}[39m, [90moptions[39m::[0mVector[90m{Float64}[39m[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/src/[39m[90;4mLagrangien_Augmente.jl:79[0m
        [3] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_lagrangien_augmente.jl:37[0m[90m [inlined][39m
        [4] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1226[0m[90m [inlined][39m
        [5] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_lagrangien_augmente.jl:35[0m[90m [inlined][39m
        [6] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
        [7] [0m[1mtester_lagrangien_augmente[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mLagrangien_Augmente[39m::[0mtypeof(Lagrangien_Augmente)[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_lagrangien_augmente.jl:35[0m
        [8] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90;4mIn[2]:24[0m[90m [inlined][39m
        [9] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
       [10] top-level scope
      [90m    @ [39m[90;4mIn[2]:24[0m
       [11] [0m[1meval[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4mboot.jl:360[0m[90m [inlined][39m
       [12] [0m[1minclude_string[22m[0m[1m([22m[90mmapexpr[39m::[0mtypeof(REPL.softscope), [90mmod[39m::[0mModule, [90mcode[39m::[0mString, [90mfilename[39m::[0mString[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[90mBase[39m [90m./[39m[90;4mloading.jl:1094[0m
       [13] [0m[1msoftscope_include_string[22m[0m[1m([22m[90mm[39m::[0mModule, [90mcode[39m::[0mString, [90mfilename[39m::[0mString[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[36mSoftGlobalScope[39m [90m~/.julia/packages/SoftGlobalScope/u4UzH/src/[39m[90;4mSoftGlobalScope.jl:65[0m
       [14] [0m[1mexecute_request[22m[0m[1m([22m[90msocket[39m::[0mZMQ.Socket, [90mmsg[39m::[0mIJulia.Msg[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[32mIJulia[39m [90m~/.julia/packages/IJulia/e8kqU/src/[39m[90;4mexecute_request.jl:67[0m
       [15] [0m[1m#invokelatest#2[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4messentials.jl:708[0m[90m [inlined][39m
       [16] [0m[1minvokelatest[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4messentials.jl:706[0m[90m [inlined][39m
       [17] [0m[1meventloop[22m[0m[1m([22m[90msocket[39m::[0mZMQ.Socket[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[32mIJulia[39m [90m~/.julia/packages/IJulia/e8kqU/src/[39m[90;4meventloop.jl:8[0m
       [18] [0m[1m(::IJulia.var"#15#18")[22m[0m[1m([22m[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[32mIJulia[39m [90m./[39m[90;4mtask.jl:406[0m
    [37mAvec cauchy: [39m[91m[1mError During Test[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_lagrangien_augmente.jl:35[22m
      Got exception outside of a @test
      BoundsError: attempt to access 6-element Vector{Float64} at index [7]
      Stacktrace:
        [1] [0m[1mgetindex[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4marray.jl:801[0m[90m [inlined][39m
        [2] [0m[1mLagrangien_Augmente[22m[0m[1m([22m[90malgo[39m::[0mString, [90mfonc[39m::[0mFunction, [90mcontrainte[39m::[0mFunction, [90mgradfonc[39m::[0mFunction, [90mhessfonc[39m::[0mFunction, [90mgrad_contrainte[39m::[0mFunction, [90mhess_contrainte[39m::[0mFunction, [90mx0[39m::[0mVector[90m{Int64}[39m, [90moptions[39m::[0mVector[90m{Float64}[39m[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/src/[39m[90;4mLagrangien_Augmente.jl:79[0m
        [3] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_lagrangien_augmente.jl:37[0m[90m [inlined][39m
        [4] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1226[0m[90m [inlined][39m
        [5] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_lagrangien_augmente.jl:35[0m[90m [inlined][39m
        [6] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
        [7] [0m[1mtester_lagrangien_augmente[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mLagrangien_Augmente[39m::[0mtypeof(Lagrangien_Augmente)[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_lagrangien_augmente.jl:35[0m
        [8] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90;4mIn[2]:24[0m[90m [inlined][39m
        [9] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m    @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
       [10] top-level scope
      [90m    @ [39m[90;4mIn[2]:24[0m
       [11] [0m[1meval[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4mboot.jl:360[0m[90m [inlined][39m
       [12] [0m[1minclude_string[22m[0m[1m([22m[90mmapexpr[39m::[0mtypeof(REPL.softscope), [90mmod[39m::[0mModule, [90mcode[39m::[0mString, [90mfilename[39m::[0mString[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[90mBase[39m [90m./[39m[90;4mloading.jl:1094[0m
       [13] [0m[1msoftscope_include_string[22m[0m[1m([22m[90mm[39m::[0mModule, [90mcode[39m::[0mString, [90mfilename[39m::[0mString[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[36mSoftGlobalScope[39m [90m~/.julia/packages/SoftGlobalScope/u4UzH/src/[39m[90;4mSoftGlobalScope.jl:65[0m
       [14] [0m[1mexecute_request[22m[0m[1m([22m[90msocket[39m::[0mZMQ.Socket, [90mmsg[39m::[0mIJulia.Msg[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[32mIJulia[39m [90m~/.julia/packages/IJulia/e8kqU/src/[39m[90;4mexecute_request.jl:67[0m
       [15] [0m[1m#invokelatest#2[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4messentials.jl:708[0m[90m [inlined][39m
       [16] [0m[1minvokelatest[22m
      [90m    @ [39m[90m./[39m[90;4messentials.jl:706[0m[90m [inlined][39m
       [17] [0m[1meventloop[22m[0m[1m([22m[90msocket[39m::[0mZMQ.Socket[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[32mIJulia[39m [90m~/.julia/packages/IJulia/e8kqU/src/[39m[90;4meventloop.jl:8[0m
       [18] [0m[1m(::IJulia.var"#15#18")[22m[0m[1m([22m[0m[1m)[22m
      [90m    @ [39m[32mIJulia[39m [90m./[39m[90;4mtask.jl:406[0m
    [37m[1mTest Summary:            | [22m[39m[91m[1mError  [22m[39m[36m[1mTotal[22m[39m
    Test lagrangien augmente | [91m    3  [39m[36m    3[39m
      Lagrangien augmenté    | [91m    3  [39m[36m    3[39m
        Avec newton          | [91m    1  [39m[36m    1[39m
        Avec gct             | [91m    1  [39m[36m    1[39m
        Avec cauchy          | [91m    1  [39m[36m    1[39m

    Some tests did not pass: 0 passed, 0 failed, 3 errored, 0 broken.
 Stacktrace:
 [1] finish(ts::Test.DefaultTestSet)
   @ Test /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:913
 [2] macro expansion
   @ /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:1161 [inlined]
 [3] top-level scope
   @ In[2]:24
 [4] eval
   @ ./boot.jl:360 [inlined]
 [5] include_string(mapexpr::typeof(REPL.softscope), mod::Module, code::String, filename::String)
   @ Base ./loading.jl:1094

 %% Cell type:markdown id: tags:

 ## Interprétation

 1. Commenter les résultats obtenus, en étudiant notamment les valeurs de $\lambda_k$ et $\mu_k$.

 2. Étudier l'influence du paramètre $\tau$ dans la performance de l'algorithme.

 3. **Supplémentaire** :
      Que proposez-vous comme méthode pour la résolution des problèmes avec
      des contraintes à la fois d'égalité et d'inégalité ? Implémenter (si le temps le permet)
      ce nouvel algorithme

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 ```

--- a/src/regions_confiance.ipynb
+++ b/src/regions_confiance.ipynb
@@ -730,7 +730,7 @@
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
-    "2. Vérifier que les tests ci-dessous passent."
+    "2. Vérifier que les tests ci-dessous passent. Attention, ces tests vérifient seulement la solution xmin trouvée par votre algorihtme. Les valeurs des flags ou le nombre d'itérations ne sont pas toujours testés et les tests ne sont bien-sûr pas exhaustifs. Vous êtes libres de rajouter des tests pour compléter ceux qui sont donnés."
   ]
  },
  {

 %% Cell type:markdown id: tags:

 <center>
 <h1> TP-Projet d'optimisation numérique </h1>
 <h1> Algorithme des Régions de Confiance </h1>
 </center>

 %% Cell type:markdown id: tags:

 # Régions de confiance avec Pas de Cauchy

 ## Implémentation

 1. Coder l'algorithme du pas de Cauchy d’un sous-problème de
 régions de confiance (fichier `Pas_De_Cauchy.jl`). La spécification de cet algorithme est donnée ci-dessous.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 using LinearAlgebra
 using Documenter
 using Markdown
 include("Pas_De_Cauchy.jl")
 @doc Pas_De_Cauchy
 ```

 %% Output

    #### Objet
    
    Cette fonction calcule une solution approchée du problème
    
    $$
    \min_{||s||< \delta_{k}} q_k(s) = s^{t}g + (1/2)s^{t}Hs
    $$
    
    par le calcul du pas de Cauchy
    
    #### Syntaxe
    
    ```julia
    s1, e1 = Pas_De_Cauchy(gradient,Hessienne,delta)
    ```
    
    #### Entrées
    
      * gradfk : (Array{Float,1}) le gradient de la fonction f appliqué au point $x_k$
      * hessfk : (Array{Float,2}) la Hessienne de la fonction f appliqué au point $x_k$
      * delta  : (Float) le rayon de la région de confiance
    
    #### Sorties
    
      * s : (Array{Float,1}) une approximation de la  solution du sous-problème
      * e : (Integer) indice indiquant l'état de sortie:      si g != 0          si on ne sature pas la boule            e <- 1          sinon            e <- -1      sinon          e <- 0
    
    #### Exemple d'appel
    
    ```julia
    g1 = [0; 0]
    H1 = [7 0 ; 0 2]
    delta1 = 1
    s1, e1 = Pas_De_Cauchy(g1,H1,delta1)
    ```
    \paragraph{Objet}
    Cette fonction calcule une solution approchée du problème
    
    $$\min_{||s||< \delta_{k}} q_k(s) = s^{t}g + (1/2)s^{t}Hs$$
    par le calcul du pas de Cauchy
    
    \paragraph{Syntaxe}
    \begin{verbatim}
    s1, e1 = Pas_De_Cauchy(gradient,Hessienne,delta)
    \end{verbatim}
    \paragraph{Entrées}
    \begin{itemize}
    \item gradfk : (Array\{Float,1\}) le gradient de la fonction f appliqué au point $x_k$
    
    
    \item hessfk : (Array\{Float,2\}) la Hessienne de la fonction f appliqué au point $x_k$
    
    
    \item delta  : (Float) le rayon de la région de confiance
    
    \end{itemize}
    \paragraph{Sorties}
    \begin{itemize}
    \item s : (Array\{Float,1\}) une approximation de la  solution du sous-problème
    
    
    \item e : (Integer) indice indiquant l'état de sortie:      si g != 0          si on ne sature pas la boule            e <- 1          sinon            e <- -1      sinon          e <- 0
    
    \end{itemize}
    \paragraph{Exemple d'appel}
    \begin{verbatim}
    g1 = [0; 0]
    H1 = [7 0 ; 0 2]
    delta1 = 1
    s1, e1 = Pas_De_Cauchy(g1,H1,delta1)
    \end{verbatim}
    [1m  Objet[22m
    [1m  -------[22m
    
      Cette fonction calcule une solution approchée du problème
    
    [35m  \min_{||s||< \delta_{k}} q_k(s) = s^{t}g + (1/2)s^{t}Hs[39m
    
      par le calcul du pas de Cauchy
    
    [1m  Syntaxe[22m
    [1m  ---------[22m
    
    [36m  s1, e1 = Pas_De_Cauchy(gradient,Hessienne,delta)[39m
    
    [1m  Entrées[22m
    [1m  ---------[22m
    
        •  gradfk : (Array{Float,1}) le gradient de la fonction f appliqué au
           point [35mx_k[39m
    
        •  hessfk : (Array{Float,2}) la Hessienne de la fonction f appliqué au
           point [35mx_k[39m
    
        •  delta : (Float) le rayon de la région de confiance
    
    [1m  Sorties[22m
    [1m  ---------[22m
    
        •  s : (Array{Float,1}) une approximation de la solution du sous-problème
    
        •  e : (Integer) indice indiquant l'état de sortie: si g != 0 si on ne
           sature pas la boule e <- 1 sinon e <- -1 sinon e <- 0
    
    [1m  Exemple d'appel[22m
    [1m  -----------------[22m
    
    [36m  g1 = [0; 0][39m
    [36m  H1 = [7 0 ; 0 2][39m
    [36m  delta1 = 1[39m
    [36m  s1, e1 = Pas_De_Cauchy(g1,H1,delta1)[39m

 %% Cell type:markdown id: tags:

 2. Ecrire des tests exhaustifs (qui testent tous les cas de figure possibles) pour votre algorithme du Pas de Cauchy.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 ```

 %% Cell type:markdown id: tags:

 3. Coder l'algorithme des Régions de Confiance (fichier `Regions_De_Confiance.jl`). Sa spécification est donnée ci-dessous.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 include("Regions_De_Confiance.jl")
 @doc Regions_De_Confiance
 ```

 %% Output

    #### Objet
    
    Minimise une fonction de R^n à valeurs dans R en utilisant l'algorithme des régions de confiance.
    
    La solution approchées des sous-problèmes quadratiques est calculé  par le pas de Cauchy ou le pas issu de l'algorithme du gradient conjugue tronqué
    
    #### Syntaxe
    
    ```julia
    xk, nb_iters, f(xk), flag = Regions_De_Confiance(algo,f,gradf,hessf,x0,option)
    ```
    
    #### Entrées :
    
      * algo        : (String) string indicant la méthode à utiliser pour calculer le pas
    
          * "gct"   : pour l'algorithme du gradient conjugué tronqué
          * "cauchy": pour le pas de Cauchy
      * f           : (Function) la fonction à minimiser
      * gradf       : (Function) le gradient de la fonction f
      * hessf       : (Function) la hessiene de la fonction à minimiser
      * x0          : (Array{Float,1}) point de départ
      * options     : (Array{Float,1})
    
          * deltaMax      : utile pour les m-à-j de la région de confiance                $R_{k}=\left\{x_{k}+s ;\|s\| \leq \Delta_{k}\right\}$
          * gamma1,gamma2 : $0 < \gamma_{1} < 1 < \gamma_{2}$ pour les m-à-j de $R_{k}$
          * eta1,eta2     : $0 < \eta_{1} < \eta_{2} < 1$ pour les m-à-j de $R_{k}$
          * delta0        : le rayon de départ de la région de confiance
          * max_iter      : le nombre maximale d'iterations
          * Tol_abs       : la tolérence absolue
          * Tol_rel       : la tolérence relative
    
    #### Sorties:
    
      * xmin    : (Array{Float,1}) une approximation de la solution du problème : $min_{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)$
      * fxmin   : (Float) $f(x_{min})$
      * flag    : (Integer) un entier indiquant le critère sur lequel le programme à arrêter
    
          * 0    : Convergence
          * 1    : stagnation du $x$
          * 2    : stagnation du $f$
          * 3    : nombre maximal d'itération dépassé
      * nb_iters : (Integer)le nombre d'iteration qu'à fait le programme
    
    #### Exemple d'appel
    
    ```julia
    algo="gct"
    f(x)=100*(x[2]-x[1]^2)^2+(1-x[1])^2
    gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)]
    hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200]
    x0 = [1; 0]
    options = []
    xmin, fxmin, flag,nb_iters = Regions_De_Confiance(algo,f,gradf,hessf,x0,options)
    ```
    \paragraph{Objet}
    Minimise une fonction de R\^{}n à valeurs dans R en utilisant l'algorithme des régions de confiance.
    
    La solution approchées des sous-problèmes quadratiques est calculé  par le pas de Cauchy ou le pas issu de l'algorithme du gradient conjugue tronqué
    
    \paragraph{Syntaxe}
    \begin{verbatim}
    xk, nb_iters, f(xk), flag = Regions_De_Confiance(algo,f,gradf,hessf,x0,option)
    \end{verbatim}
    \paragraph{Entrées :}
    \begin{itemize}
    \item algo        : (String) string indicant la méthode à utiliser pour calculer le pas
    
    \begin{itemize}
    \item "gct"   : pour l'algorithme du gradient conjugué tronqué
    
    
    \item "cauchy": pour le pas de Cauchy
    
    \end{itemize}
    
    \item f           : (Function) la fonction à minimiser
    
    
    \item gradf       : (Function) le gradient de la fonction f
    
    
    \item hessf       : (Function) la hessiene de la fonction à minimiser
    
    
    \item x0          : (Array\{Float,1\}) point de départ
    
    
    \item options     : (Array\{Float,1\})
    
    \begin{itemize}
    \item deltaMax      : utile pour les m-à-j de la région de confiance                $R_{k}=\left\{x_{k}+s ;\|s\| \leq \Delta_{k}\right\}$
    
    
    \item gamma1,gamma2 : $0 < \gamma_{1} < 1 < \gamma_{2}$ pour les m-à-j de $R_{k}$
    
    
    \item eta1,eta2     : $0 < \eta_{1} < \eta_{2} < 1$ pour les m-à-j de $R_{k}$
    
    
    \item delta0        : le rayon de départ de la région de confiance
    
    
    \item max\_iter      : le nombre maximale d'iterations
    
    
    \item Tol\_abs       : la tolérence absolue
    
    
    \item Tol\_rel       : la tolérence relative
    
    \end{itemize}
    \end{itemize}
    \paragraph{Sorties:}
    \begin{itemize}
    \item xmin    : (Array\{Float,1\}) une approximation de la solution du problème : $min_{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)$
    
    
    \item fxmin   : (Float) $f(x_{min})$
    
    
    \item flag    : (Integer) un entier indiquant le critère sur lequel le programme à arrêter
    
    \begin{itemize}
    \item 0    : Convergence
    
    
    \item 1    : stagnation du $x$
    
    
    \item 2    : stagnation du $f$
    
    
    \item 3    : nombre maximal d'itération dépassé
    
    \end{itemize}
    
    \item nb\_iters : (Integer)le nombre d'iteration qu'à fait le programme
    
    \end{itemize}
    \paragraph{Exemple d'appel}
    \begin{verbatim}
    algo="gct"
    f(x)=100*(x[2]-x[1]^2)^2+(1-x[1])^2
    gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)]
    hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200]
    x0 = [1; 0]
    options = []
    xmin, fxmin, flag,nb_iters = Regions_De_Confiance(algo,f,gradf,hessf,x0,options)
    \end{verbatim}
    [1m  Objet[22m
    [1m  -------[22m
    
      Minimise une fonction de R^n à valeurs dans R en utilisant l'algorithme des
      régions de confiance.
    
      La solution approchées des sous-problèmes quadratiques est calculé par le
      pas de Cauchy ou le pas issu de l'algorithme du gradient conjugue tronqué
    
    [1m  Syntaxe[22m
    [1m  ---------[22m
    
    [36m  xk, nb_iters, f(xk), flag = Regions_De_Confiance(algo,f,gradf,hessf,x0,option)[39m
    
    [1m  Entrées :[22m
    [1m  -----------[22m
    
        •  algo : (String) string indicant la méthode à utiliser pour calculer le
           pas • "gct" : pour l'algorithme du gradient conjugué tronqué •
           "cauchy": pour le pas de Cauchy
    
        •  f : (Function) la fonction à minimiser
    
        •  gradf : (Function) le gradient de la fonction f
    
        •  hessf : (Function) la hessiene de la fonction à minimiser
    
        •  x0 : (Array{Float,1}) point de départ
    
        •  options : (Array{Float,1}) • deltaMax : utile pour les m-à-j de la
           région de confiance [35mR_{k}=\left\{x_{k}+s ;\|s\| \leq
           \Delta_{k}\right\}[39m • gamma1,gamma2 : [35m0 < \gamma_{1} < 1 < \gamma_{2}[39m
           pour les m-à-j de [35mR_{k}[39m • eta1,eta2 : [35m0 < \eta_{1} < \eta_{2} < 1[39m pour
           les m-à-j de [35mR_{k}[39m • delta0 : le rayon de départ de la région de
           confiance • max_iter : le nombre maximale d'iterations • Tol_abs : la
           tolérence absolue • Tol_rel : la tolérence relative
    
    [1m  Sorties:[22m
    [1m  ----------[22m
    
        •  xmin : (Array{Float,1}) une approximation de la solution du problème :
           [35mmin_{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)[39m
    
        •  fxmin : (Float) [35mf(x_{min})[39m
    
        •  flag : (Integer) un entier indiquant le critère sur lequel le
           programme à arrêter • 0 : Convergence • 1 : stagnation du [35mx[39m • 2 :
           stagnation du [35mf[39m • 3 : nombre maximal d'itération dépassé
    
        •  nb_iters : (Integer)le nombre d'iteration qu'à fait le programme
    
    [1m  Exemple d'appel[22m
    [1m  -----------------[22m
    
    [36m  algo="gct"[39m
    [36m  f(x)=100*(x[2]-x[1]^2)^2+(1-x[1])^2[39m
    [36m  gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)][39m
    [36m  hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200][39m
    [36m  x0 = [1; 0][39m
    [36m  options = [][39m
    [36m  xmin, fxmin, flag,nb_iters = Regions_De_Confiance(algo,f,gradf,hessf,x0,options)[39m

 %% Cell type:markdown id: tags:

 4. Vérifier que les tests ci-dessous passent.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 using Test

 # Tolérance pour les tests d'égalité
 tol_erreur = sqrt(eps())

 ## ajouter les fonctions de test
 include("../test/fonctions_de_tests.jl")

 include("../test/tester_regions_de_confiance.jl")

 include("../src/Pas_De_Cauchy.jl")

 include("../src/Regions_De_Confiance.jl")

 affiche = false

 @testset "Test rc avec cauchy" begin
 	tester_regions_de_confiance(affiche,Regions_De_Confiance)
 end;
 ```

 %% Output

    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:45[22m
      Expression: isapprox(x_min11, sol_exacte_fct1, atol = tol_erreur)
       Evaluated: isapprox([0.0, 0.0, 0.0], [1, 1, 1]; atol = 0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:45[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:52[22m
      Expression: ≈(x_min12, sol_exacte_fct1, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [0.0, 0.0, 0.0] ≈ [1, 1, 1] (atol=0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:52[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:59[22m
      Expression: ≈(x_min21, sol_exacte_fct2, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [1, 1] (atol=0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:59[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    iters = 0
    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:67[22m
      Expression: ≈(x_min22, sol_exacte_fct2, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [1, 1] (atol=0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:67[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:74[22m
      Expression: ≈(x_min23, sol_exacte_fct2, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [1, 1] (atol=0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:74[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    [37m[1mTest Summary:        | [22m[39m[91m[1mFail  [22m[39m[36m[1mTotal[22m[39m
    Test rc avec cauchy  | [91m   5  [39m[36m    5[39m
      La méthode des RC  | [91m   5  [39m[36m    5[39m
        avec Cauchy      | [91m   5  [39m[36m    5[39m

    Some tests did not pass: 0 passed, 5 failed, 0 errored, 0 broken.
 Stacktrace:
 [1] finish(ts::Test.DefaultTestSet)
   @ Test /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:913
 [2] macro expansion
   @ /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:1161 [inlined]
 [3] top-level scope
   @ In[5]:18
 [4] eval
   @ ./boot.jl:360 [inlined]
 [5] include_string(mapexpr::typeof(REPL.softscope), mod::Module, code::String, filename::String)
   @ Base ./loading.jl:1094

 %% Cell type:markdown id: tags:

 ## Interprétation

 <!-- Pour ces questions, des représentations graphiques sont attendues pour corroborer vos réponses. -->

 1. Soit $$ f_{1} : \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}$$ $$ (x_1,x_2, x_3) \mapsto  2 (x_1 +x_2 + x_3 -3)^2 + (x_1-x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2$$ Quelle relation lie la fonction $f_1$ et son modèle de Taylor à l’ordre 2 ? Comparer alors les performances de Newton et RC-Pas de Cauchy sur cette fonction.

 2. Le rayon initial de la région de confiance est un paramètre important dans l’analyse
 de la performance de l’algorithme. Sur quel(s) autre(s) paramètre(s) peut-on jouer
 pour essayer d’améliorer cette performance ? Étudier l’influence d’au moins deux de
 ces paramètres.

 %% Cell type:markdown id: tags:

 # Régions de confiance avec Gradient Conjugué
 ## Implémentation

 1. Implémenter l’algorithme du Gradient Conjugué Tronqué (fichier `Gradient_Conjugue_Tronque.jl`). Sa spécification est donnée ci-dessous.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 include("Gradient_Conjugue_Tronque.jl")
 @doc Gradient_Conjugue_Tronque
 ```

 %% Output

    #### Objet
    
    Cette fonction calcule une solution approchée du problème
    
    $$
    \min_{||s||< \delta_{k}} q_k(s) = s^{t}g + (1/2)s^{t}Hs
    $$
    
    par l'algorithme du gradient conjugué tronqué
    
    #### Syntaxe
    
    ```julia
    sk = Gradient_Conjugue_Tronque(fk,gradfk,hessfk,option)
    ```
    
    #### Entrées :
    
      * gradfk           : (Array{Float,1}) le gradient de la fonction f appliqué au point xk
      * hessfk           : (Array{Float,2}) la Hessienne de la fonction f appliqué au point xk
      * options          : (Array{Float,1})
    
          * delta    : le rayon de la région de confiance
          * max_iter : le nombre maximal d'iterations
          * tol      : la tolérance pour la condition d'arrêt sur le gradient
    
    #### Sorties:
    
      * s : (Array{Float,1}) le pas s qui approche la solution du problème : $min_{||s||< \delta_{k}} q(s)$
    
    #### Exemple d'appel:
    
    ```julia
    gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)]
    hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200]
    xk = [1; 0]
    options = []
    s = Gradient_Conjugue_Tronque(gradf(xk),hessf(xk),options)
    ```
    \paragraph{Objet}
    Cette fonction calcule une solution approchée du problème
    
    $$\min_{||s||< \delta_{k}} q_k(s) = s^{t}g + (1/2)s^{t}Hs$$
    par l'algorithme du gradient conjugué tronqué
    
    \paragraph{Syntaxe}
    \begin{verbatim}
    sk = Gradient_Conjugue_Tronque(fk,gradfk,hessfk,option)
    \end{verbatim}
    \paragraph{Entrées :}
    \begin{itemize}
    \item gradfk           : (Array\{Float,1\}) le gradient de la fonction f appliqué au point xk
    
    
    \item hessfk           : (Array\{Float,2\}) la Hessienne de la fonction f appliqué au point xk
    
    
    \item options          : (Array\{Float,1\})
    
    \begin{itemize}
    \item delta    : le rayon de la région de confiance
    
    
    \item max\_iter : le nombre maximal d'iterations
    
    
    \item tol      : la tolérance pour la condition d'arrêt sur le gradient
    
    \end{itemize}
    \end{itemize}
    \paragraph{Sorties:}
    \begin{itemize}
    \item s : (Array\{Float,1\}) le pas s qui approche la solution du problème : $min_{||s||< \delta_{k}} q(s)$
    
    \end{itemize}
    \paragraph{Exemple d'appel:}
    \begin{verbatim}
    gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)]
    hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200]
    xk = [1; 0]
    options = []
    s = Gradient_Conjugue_Tronque(gradf(xk),hessf(xk),options)
    \end{verbatim}
    [1m  Objet[22m
    [1m  -------[22m
    
      Cette fonction calcule une solution approchée du problème
    
    [35m  \min_{||s||< \delta_{k}} q_k(s) = s^{t}g + (1/2)s^{t}Hs[39m
    
      par l'algorithme du gradient conjugué tronqué
    
    [1m  Syntaxe[22m
    [1m  ---------[22m
    
    [36m  sk = Gradient_Conjugue_Tronque(fk,gradfk,hessfk,option)[39m
    
    [1m  Entrées :[22m
    [1m  -----------[22m
    
        •  gradfk : (Array{Float,1}) le gradient de la fonction f appliqué au
           point xk
    
        •  hessfk : (Array{Float,2}) la Hessienne de la fonction f appliqué au
           point xk
    
        •  options : (Array{Float,1}) • delta : le rayon de la région de
           confiance • max_iter : le nombre maximal d'iterations • tol : la
           tolérance pour la condition d'arrêt sur le gradient
    
    [1m  Sorties:[22m
    [1m  ----------[22m
    
        •  s : (Array{Float,1}) le pas s qui approche la solution du problème :
           [35mmin_{||s||< \delta_{k}} q(s)[39m
    
    [1m  Exemple d'appel:[22m
    [1m  ------------------[22m
    
    [36m  gradf(x)=[-400*x[1]*(x[2]-x[1]^2)-2*(1-x[1]) ; 200*(x[2]-x[1]^2)][39m
    [36m  hessf(x)=[-400*(x[2]-3*x[1]^2)+2  -400*x[1];-400*x[1]  200][39m
    [36m  xk = [1; 0][39m
    [36m  options = [][39m
    [36m  s = Gradient_Conjugue_Tronque(gradf(xk),hessf(xk),options)[39m

 %% Cell type:markdown id: tags:

-2. Vérifier que les tests ci-dessous passent.
+2. Vérifier que les tests ci-dessous passent. Attention, ces tests vérifient seulement la solution xmin trouvée par votre algorihtme. Les valeurs des flags ou le nombre d'itérations ne sont pas toujours testés et les tests ne sont bien-sûr pas exhaustifs. Vous êtes libres de rajouter des tests pour compléter ceux qui sont donnés.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 using Test

 # Tolérance pour les tests d'égalité
 tol_erreur = sqrt(eps())

 ## ajouter les fonctions de test
 include("../test/fonctions_de_tests.jl")

 include("../test/tester_gct.jl")

 include("../src/Gradient_Conjugue_Tronque.jl")

 affiche = false

 @testset "Test gct" begin
 	tester_gct(affiche,Gradient_Conjugue_Tronque)
 end;
 ```

 %% Output

    [37mGradient-CT: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_gct.jl:35[22m
      Expression: ≈(s, (-delta * grad) / norm(grad), atol = tol_test)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [-0.4743416490252569, -0.15811388300841897] (atol=0.001)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:35[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mtester_gct[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mGradient_Conjugue_Tronque[39m::[0mtypeof(Gradient_Conjugue_Tronque)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:24[0m
    [37mGradient-CT: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_gct.jl:38[22m
      Expression: ≈(s, [-0.8740776099190263, -0.8221850958502244], atol = tol_test)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [-0.8740776099190263, -0.8221850958502244] (atol=0.001)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:38[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mtester_gct[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mGradient_Conjugue_Tronque[39m::[0mtypeof(Gradient_Conjugue_Tronque)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:24[0m
    [37mGradient-CT: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_gct.jl:41[22m
      Expression: ≈(s, -Hess \ grad, atol = tol_test)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [-0.8571428571428571, -1.0] (atol=0.001)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mtester_gct[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mGradient_Conjugue_Tronque[39m::[0mtypeof(Gradient_Conjugue_Tronque)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:24[0m
    [37mGradient-CT: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_gct.jl:48[22m
      Expression: ≈(s, (-delta * grad) / norm(grad), atol = tol_test)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [-0.4472135954999579, -0.8944271909999159] (atol=0.001)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:48[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mtester_gct[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mGradient_Conjugue_Tronque[39m::[0mtypeof(Gradient_Conjugue_Tronque)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:24[0m
    [37mGradient-CT: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_gct.jl:52[22m
      Expression: ≈(s, (-delta * grad) / norm(grad), atol = tol_test)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [-0.5, -0.0] (atol=0.001)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:52[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mtester_gct[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mGradient_Conjugue_Tronque[39m::[0mtypeof(Gradient_Conjugue_Tronque)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:24[0m
    [37mGradient-CT: [39m[91m[1mError During Test[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_gct.jl:56[22m
      Test threw exception
      Expression: isapprox(s, [0.48997991959774634, 5.979959839195494], atol = tol_test) || iapprox(s, [-4.489979919597747, -3.979959839195493], atol = tol_test)
      UndefVarError: iapprox not defined
      Stacktrace:
       [1] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:56[0m[90m [inlined][39m
       [2] [0m[1mmacro expansion[22m
      [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
       [3] [0m[1mtester_gct[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mGradient_Conjugue_Tronque[39m::[0mtypeof(Gradient_Conjugue_Tronque)[0m[1m)[22m
      [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:24[0m
    [37mGradient-CT: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_gct.jl:77[22m
      Expression: ≈(s, [1.9059020876695578; -2.3167946029410595], atol = tol_test)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [1.9059020876695578, -2.3167946029410595] (atol=0.001)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:77[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mtester_gct[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mGradient_Conjugue_Tronque[39m::[0mtypeof(Gradient_Conjugue_Tronque)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:24[0m
    [37mGradient-CT: [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_gct.jl:85[22m
      Expression: ≈(s, [-0.5; 0.0], atol = tol_test)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [-0.5, 0.0] (atol=0.001)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:85[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mtester_gct[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mGradient_Conjugue_Tronque[39m::[0mtypeof(Gradient_Conjugue_Tronque)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_gct.jl:24[0m
    [37m[1mTest Summary: | [22m[39m[32m[1mPass  [22m[39m[91m[1mFail  [22m[39m[91m[1mError  [22m[39m[36m[1mTotal[22m[39m
    Test gct      | [32m   1  [39m[91m   7  [39m[91m    1  [39m[36m    9[39m
      Gradient-CT | [32m   1  [39m[91m   7  [39m[91m    1  [39m[36m    9[39m

    Some tests did not pass: 1 passed, 7 failed, 1 errored, 0 broken.
 Stacktrace:
 [1] finish(ts::Test.DefaultTestSet)
   @ Test /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:913
 [2] macro expansion
   @ /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:1161 [inlined]
 [3] top-level scope
   @ In[7]:16
 [4] eval
   @ ./boot.jl:360 [inlined]
 [5] include_string(mapexpr::typeof(REPL.softscope), mod::Module, code::String, filename::String)
   @ Base ./loading.jl:1094

 %% Cell type:markdown id: tags:

 3. Intégrer l’algorithme du Gradient Conjugué Tronqué dans le code de régions de confiance (fichier `Regions_De_Confiance.jl`).

 4. Décommenter les tests avec le gradient conjugué dans `tester_regions_de_confiance.jl` et vérifier que les tests passent.

 %% Cell type:code id: tags:

 ``` julia
 using Test

 # Tolérance pour les tests d'égalité
 tol_erreur = sqrt(eps())

 ## ajouter les fonctions de test
 include("../test/fonctions_de_tests.jl")

 include("../test/tester_regions_de_confiance.jl")

 include("../src/Pas_De_Cauchy.jl")

 include("../src/Gradient_Conjugue_Tronque.jl")

 include("../src/Regions_De_Confiance.jl")

 affiche = false

 @testset "Test rc avec cauchy et gct" begin
 	tester_regions_de_confiance(affiche,Regions_De_Confiance)
 end;
 ```

 %% Output

    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:45[22m
      Expression: isapprox(x_min11, sol_exacte_fct1, atol = tol_erreur)
       Evaluated: isapprox([0.0, 0.0, 0.0], [1, 1, 1]; atol = 0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:45[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:52[22m
      Expression: ≈(x_min12, sol_exacte_fct1, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [0.0, 0.0, 0.0] ≈ [1, 1, 1] (atol=0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:52[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:59[22m
      Expression: ≈(x_min21, sol_exacte_fct2, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [1, 1] (atol=0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:59[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    iters = 0
    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:67[22m
      Expression: ≈(x_min22, sol_exacte_fct2, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [1, 1] (atol=0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:67[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    [37mavec Cauchy : [39m[91m[1mTest Failed[22m[39m at [39m[1m/Users/ocots/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/tester_regions_de_confiance.jl:74[22m
      Expression: ≈(x_min23, sol_exacte_fct2, atol = tol_erreur)
       Evaluated: [0.0, 0.0] ≈ [1, 1] (atol=0.01)
    Stacktrace:
     [1] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:74[0m[90m [inlined][39m
     [2] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [3] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:41[0m[90m [inlined][39m
     [4] [0m[1mmacro expansion[22m
    [90m   @ [39m[90m/Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/[39m[90;4mTest.jl:1151[0m[90m [inlined][39m
     [5] [0m[1mtester_regions_de_confiance[22m[0m[1m([22m[90mafficher[39m::[0mBool, [90mRegions_De_Confiance[39m::[0mtypeof(Regions_De_Confiance)[0m[1m)[22m
    [90m   @ [39m[35mMain[39m [90m~/Boulot/cours/optimisation/optimisation_numerique_2A_SN/projet-optinum/test/[39m[90;4mtester_regions_de_confiance.jl:39[0m
    [37m[1mTest Summary:              | [22m[39m[91m[1mFail  [22m[39m[36m[1mTotal[22m[39m
    Test rc avec cauchy et gct | [91m   5  [39m[36m    5[39m
      La méthode des RC        | [91m   5  [39m[36m    5[39m
        avec Cauchy            | [91m   5  [39m[36m    5[39m

    Some tests did not pass: 0 passed, 5 failed, 0 errored, 0 broken.
 Stacktrace:
 [1] finish(ts::Test.DefaultTestSet)
   @ Test /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:913
 [2] macro expansion
   @ /Users/julia/buildbot/worker/package_macos64/build/usr/share/julia/stdlib/v1.6/Test/src/Test.jl:1161 [inlined]
 [3] top-level scope
   @ In[8]:20
 [4] eval
   @ ./boot.jl:360 [inlined]
 [5] include_string(mapexpr::typeof(REPL.softscope), mod::Module, code::String, filename::String)
   @ Base ./loading.jl:1094

 %% Cell type:markdown id: tags:

 ## Interprétation

 1. Comparer la décroissance obtenue avec celle du pas de Cauchy, en imposant la sortie
 dans l’algorithme 3 au bout d’une itération seulement. Que remarquez vous ?

 2. Comparer la décroissance obtenue avec celle du pas de Cauchy dans le cas général.

 3. Quels sont les avantages et inconvénients des deux approches ?