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Commit 4fa55a69 authored by gergaud's avatar gergaud
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%% Cell type:markdown id: tags:
<center>
<h1> Résolution de l'équation de la chaleur par discrétisation différences finies en temps et en espace</h1>
<h1> Année 2021-2022 - IENM2 </h1>
<h1> Nom: </h1>
<h1> Prénom: </h1>
</center>
%% Cell type:markdown id: tags:
## Objectifs
%% Cell type:markdown id: tags:
<div style="background:MistyRose">
<br>
Nous souhaitons résoudre le problème de la chaleur muni de conditions limites de type Dirichlet homogènes suivant:
<br>
$$ (P)~ \left \{
\begin{array}{11}
\ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u = f \, \, \, \, \, \, (\Omega \times [0, T])\\
\ u(0,t)=0 \, \, \, \, \, \, (\partial \Omega) \\
\ u(1,t)=0 \, \, \, \, \, \, (\partial \Omega) \\
\ u(x,0)=u_{0}(x) \, \, \, \, \, \, (t=0)
\end{array}
\right. $$
<br>
sur un domaine monodimensionnel $\Omega$ par une méthode de discrétisation de type différences finies. Nous vous proposons de détailler pas à pas les différentes étapes en réalisant
systématiquement des tests unitaires afin de valider vos implantations.<br>
Les étapes proposées sont les suivantes:<br>
- Imposer une solution exacte $ u_{ex}(x,t)$ au problème $(P)$.
- En déduire une condition initiale $ u_{0}(x)$ au problème $(P)$.
- En déduire $f$ le terme source associé à $ u_{ex}(x,t)$.
- Résoudre numériquement $(P)$ en utilisant les schémas d'Euler explicite et implicite.
- Déterminer numériquement l'ordre de convergence des schémas de discrétisation en temps.
%% Cell type:markdown id: tags:
### Import des librairies Python nécessaires
%% Cell type:code id: tags:
``` python
import scipy as sc
import scipy.sparse as sparse
import scipy.sparse.linalg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#import matplotlib.animation as animation
import math
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Définition des paramètres du problème (P)
%% Cell type:code id: tags:
``` python
# Nombre de pas de discretisation en temps
N_t =
# Nombre de pas de discretisation en espace
M =
# Nombre de points de discretisation en espace
N = M + 1
# Temps final [s]
T =
# Pas de discretisation temporel sur [0 T]
delta_t = T/N_t
# Pas de discretisation spatial sur le domaine [0,1]
h = 1/(N-1)
# Nombre CFL
c =
```
%% Output
File "<ipython-input-2-e30d73daff6c>", line 2
N_t =
^
SyntaxError: invalid syntax
%% Cell type:markdown id: tags:
### Définition de la fonction solution exacte choisie, du second membre de l'équation de la chaleur et déduction du schéma de construction associé à la solution exacte
%% Cell type:markdown id: tags:
<div style="background:LightGrey">
Indiquer ici le choix de la solution exacte. En déduire le second membre de l'équation définissant le problème (P).
</div>
%% Cell type:code id: tags:
``` python
def solution_exacte(x,t):
"""
Fonction representant la solution exacte du probleme de la chaleur.
Cette fonction doit verifier les conditions initiales et limites sur
la frontiere du domaine.
Entrees:
x: abscisse du point de maillage [float]
t: temps discret considere [float]
Sortie:
Valeur de la solution exacte evaluee en x et au temps t [float]
"""
# A COMPLETER
def second_membre(x, t):
"""
Fonction representant le second membre associe a la solution exacte du probleme
de la chaleur.
Entrees:
x: abscisse du point de maillage [float]
t: temps discret considere [float]
Sortie:
Valeur du second membre evalue en x et au temps t [float]
"""
# A COMPLETER
def schema_exact(N, h, c, T, delta_t, u0):
"""
Fonction representant le tableau bidimensionnel [espace, temps] correspondant a la
solution en chaque point du maillage et a tout temps discret.
Entrees:
N: Nombre de points de discretisation en espace [int]
h: Pas de maillage spatial [float]
c: Nombre CFL [float]
T: Temps final [float]
delta_t: Pas de discretisation temporel [float]
u0: condition initiale [array]
Sortie:
U_exacte: Tableau bidimensionnel de la solution evaluee en tout x et a tout temps t [float]
"""
# Initialisation de la solution
# Prise en compte de la solution initiale
# Deduction de la solution aux autres instants
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Définition de la condition initiale et affichage de la solution exacte pour différents instants
%% Cell type:code id: tags:
``` python
#
# Definition de la condition initiale comme un tableau monodimensionnel en espace
#
u0 = np.zeros(N, dtype=float)
# A COMPLETER pour avoir votre condition initiale
#
# Deduction de la solution exacte par appel de la fonction schema_exact
#
U = schema_exact(N, h, c, T, delta_t, u0)
#
# Representation graphique a differents instants a choisir
#
x = np.linspace(0, 1, N)
plt.plot(x, U[:,0], label="à T=0")
plt.plot(x, U[:, int(N_t/5)], label="à T/5")
plt.plot(x, U[:, int(N_t/2)], label="à T/2")
plt.plot(x, U[:,int(T/delta_t)-1], label="à T" )
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title("Evolution de la température sur la barre pour T=" + str(T))
plt.show()
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Construction du schéma explicite en temps
%% Cell type:code id: tags:
``` python
def schema_explicite(N, h, c, T, delta_t, U_explicite):
"""
Fonction representant le tableau bidimensionnel [espace, temps] correspondant a la
solution en chaque point du maillage et a tout temps discret obtenue avec le schema
explicite.
Entrees:
N: Nombre de points de discretisation en espace [int]
h: Pas de maillage spatial [float]
c: Nombre CFL [float]
T: Temps final [float]
delta_t: Pas de discretisation temporel [float]
u0: condition initiale [array]
Sortie:
U_explicite: Tableau bidimensionnel de la solution du schema explicite evaluee en tout x et a tout temps t [float]
"""
#
# Création de la matrice A via une matrice creuse (interieur du domaine)
#
#
# Application du schéma sur les points interieurs
#
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Affichage de la solution discrète pour le schéma explicite pour différents instants
%% Cell type:code id: tags:
``` python
#
# La condition initiale est celle qui a été définie ci-dessus
#
# Deduction de la solution du schema explicite en temps
#
U_explicite = np.zeros((N, int(T/delta_t)), dtype=float)
U_explicite[:,0] = u0
Ue = schema_explicite(N,h,c, T, delta_t, U_explicite)
#
# Representation graphique a differents instants a choisir
#
x = np.linspace(0, 1, N)
plt.plot(x, Ue[:,0], label="à T=0")
plt.plot(x, Ue[:, int(N_t/5)], label="à T/5")
plt.plot(x, Ue[:, int(N_t/2)], label="à T/2")
plt.plot(x, Ue[:,int(T/delta_t)-1], label="à T" )
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title("Evolution de la température sur la barre pour T=" + str(T))
plt.show()
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Construction du schéma implicite en temps
%% Cell type:code id: tags:
``` python
def schema_implicite(N,h,c, T, delta_t, U_implicite):
"""
Fonction representant le tableau bidimensionnel [espace, temps] correspondant a la
solution en chaque point du maillage et a tout temps discret obtenue avec le schema
explicite.
Entrees:
N: Nombre de points de discretisation en espace [int]
h: Pas de maillage spatial [float]
c: Nombre CFL [float]
T: Temps final [float]
delta_t: Pas de discretisation temporel [float]
u0: condition initiale [array]
Sortie:
U_implicite: Tableau bidimensionnel de la solution du schema implicite evaluee en tout x et a tout temps t [float]
"""
#
# Création de la matrice A via une matrice creuse
#
#
# Application du schéma sur les points interieurs
#
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Affichage de la solution discrète pour le schéma implicite pour différents instants
%% Cell type:code id: tags:
``` python
#
# La condition initiale est celle qui a été définie ci-dessus
#
# Deduction de la solution du schema implicite en temps
#
U_implicite = np.zeros((N, int(T/delta_t)), dtype=float)
U_implicite[:,0] = u0
Ui = schema_implicite(N,h,c, T, delta_t, U_implicite)
#
# Representation graphique a differents instants a choisir
#
x = np.linspace(0, 1, N)
plt.plot(x, Ui[:,0], label="à T=0")
plt.plot(x, Ui[:, int(N_t/5)], label="à T/5")
plt.plot(x, Ui[:, int(N_t/2)], label="à T/2")
plt.plot(x, Ui[:,int(T/delta_t)-1], label="à T" )
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title("Evolution de la température sur la barre pour T=" + str(T))
plt.show()
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Détermination de l'ordre de convergence des schémas de discrétisation en temps
%% Cell type:markdown id: tags:
<div style="background:LightGrey">
Indiquer ici comment vous calculez cet ordre de convergence. Quelle est la valeur attendue pour les schémas d'Euler explicite ou implicite ? Vérifier ce résultat graphiquement.
</div>
%% Cell type:code id: tags:
``` python
def erreur(U_exacte, U, h):
"""
Calcul de l'erreur discrete
Entrees:
U_exacte: solution exacte du probleme considere [float]
U : solution discrete pour un schema donne [float]
h : pas de discretisation spatial [float]
Sortie:
norme de l'erreur discrete [float]
"""
# A COMPLETER
```
%% Cell type:code id: tags:
``` python
def ordre_discretisation_temps(h, N, T):
"""
Calcul de l'ordre de discretisation en temps
Entrées :
h: pas de discretisation spatial [float]
N: nombre de points de discretisation en espace [int]
T: temps final [float]
Sortie :
time_step: pas de temps en loi log [float, array]
erreur : erreur en loi log[float, array]
"""
time_step = np.zeros(10)
error = np.zeros(10)
count = 0
for loop in range(20, 120, 10):
delta = 1./loop
c = delta/(h**2)
#
# Initialisation pour la solution exacte
#
u0 = np.zeros(N, dtype=float)
# A COMPLETER
U_exacte = schema_exact(N, h, c, T, delta, u0)
#
# Initialisation pour la solution numérique
#
U_implicite = np.zeros((N, int(T/delta)), dtype=float)
u0 = np.zeros(N, dtype=float)
# A COMPLETER
U_implicite[:,0] = u0
#
#
#
U_implicite = schema_implicite(N, h, c, T, delta, U_implicite)
error[count] = math.log(erreur(U_exacte, U_implicite, h))
time_step[count] = math.log(delta)
count += 1
return time_step, error
```
%% Cell type:code id: tags:
``` python
#
# Construction des elements pour l'analyse du schema
#
time_step, error = ordre_discretisation_temps(h, N, T)
#
# Creation de la figure
#
theta = 1.0
fig = plt.figure()
plt.plot(time_step,error,marker='*',color='blue',label='Euler implicite (theta='"%3.2f"%theta+')')
plt.plot(time_step,1.*time_step,color='red',label='Ordre 1 en temps')
plt.plot(time_step,2.*time_step,color='green',label='Ordre 2 en temps')
plt.xlabel("Log(Delta t)")
plt.ylabel("Log(Norme de l'erreur)")
plt.title('Analyse de convergence: Equation de la chaleur')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
```
%% Cell type:markdown id: tags:
<div style="background:LightGrey">
Indiquer ici l'ordre de convergence obtenu effectivement. Obtenez-vous le comportement obtenu ?
</div>
%% Cell type:code id: tags:
``` python
#
# Affichage des donnees pour validation et inter-comparaison
#
```
%% Cell type:markdown id: tags:
### Schéma de discrétisation en temps du second ordre
%% Cell type:markdown id: tags:
<div style="background:LightGrey">
Résoudre (P) cette fois avec le schéma temporel d'ordre deux implicite Crank-Nicolson. Commenter votre code pour indiquer les changements effectués. Vérifier par une méthodologie identique l'ordre de convergence de ce schéma.
</div>
%% Cell type:markdown id: tags:
### Bonus: Généralisation pour des conditions limites spatiales non homogènes
%% Cell type:markdown id: tags:
<div style="background:MistyRose">
<br>
Nous souhaitons résoudre désormais le problème de la chaleur muni de conditions limites de
type Dirichlet non homogènes suivant:
<br>
$$ (P_{nh}) ~ \left \{
\begin{array}{11}
\ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u = f \, \, \, \, \, \, (\Omega \times [0, T]),\\
\ u(0,t)= u_g{(t)} \, \, \, \, \, \, (\partial \Omega), \\
\ u(1,t)= u_d{(t)} \, \, \, \, \, \, (\partial \Omega), \\
\ u(x,0)= u_{0}(x) \, \, \, \, \, \, (t=0),
\end{array}
\right. $$
<br>
sur un domaine monodimensionnel $\Omega$ par une méthode de discrétisation de type différences finies.<br>
Reprendre les étapes proposées précédemment:
- Imposer une condition initiale et une solution exacte $ u_{ex}(x,t)$ au problème $(P_{nh})$.
- En déduire $f$ le terme source associé à $ u_{ex}$.
- Résoudre numériquement $(P_{nh})$ en utilisant un schéma de votre choix.
%% Cell type:code id: tags:
``` python
```
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